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Benny
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 Inviato: 27 Feb 2006 17:01 Oggetto: |
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Piccola errata corrige:
| Benny ha scritto: | L'angolo theta dipende in parte dall'altezza del cono.
In modo particolare
theta-->2pi per h-->0 (il cono si riduce alla circonferenza o ellisse di base)
theta-->0 per h-->infinito (il cono degenera in quella che si può approssimare ad una retta) |
In realtà è più giusto dire che dipende dal rapporto h/(a+b), in quanto tale rapporto tende a zero per h-->0 o per (a+b)-->infinito, mentre tende a infinito nel caso opposto.
Perciò varrebbe:
theta-->2pi per h/(a+b)-->0
theta-->0 per h/(a+b)-->infinito
I casi
h-->0 e (a+b)-->0
h-->inf. e (a+b)-->inf.
li tralascerei. |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 28 Feb 2006 14:27 Oggetto: |
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| Eugy ha scritto: | ATTENZIONE ! quando dico curva di sviluppo intendo, la prima volta, l'intera curva, cioè la lunghezza della curva di sviluppo se spazzo tutti i 360°
Il meglio che ho pensato finora è questo:
data ellissi di lunghezza e
dato che la curva di sviluppo, se la faccio tutta viene lunga s
allora suppongo che mi devo fermare con lo "spazzamento" a 2pi*e/s
Quindi nella mia parametrizzazione della curva di sviluppo lascio t nella formula dell'apotema, indicata con l(t) e introduco la variabile t' come parametro, con t'=te/s
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Ho capito. Il ragionamento è corretto. Ancora una volta stiamo affrontando lo stesso problema attaccando da punti differenti (mi piace sta cosa!).
Il limite del nostro ragionamento è che lavoriamo solo con grandezze finite come se il rapporto tra gli angoli fosse costante lungo tutto lo sviluppo.
Credo però che questo sia vero solo nel caso particolare della circonferenza (in cui il raggio è costante).
Se il raggio è variabile credo che maggiore è il modulo della sua derivata e maggiore è la velocità con la quale t' cresce rispetto a t.
In altri termini se non siamo su una circonferenza il rapporto dt'/dt (o de/ds se preferisci) non è costante in ogni punto quindi la relazione t'=t'(t) (oppure e=e(s)) non può essere lineare.
Per convincermi ho disegnato una sezione di cono di ampiezza 2dt.
(la presenza del fattore 2 è giustificata dal fatto che dopo, dimezzando la figura, vengono fuori un sacco di angoli retti estremamente utili!)
La curva di base del cono è qualsiasi.
Il vertice del cono è C e la sua proiezione sul piano di base è O.
Chiamiamo A e B gli estremi dell'arco della curva di base.
Disegniamo la corda AB e indichiamo con M il suo punto medio.
Chiamiamo P il punto in cui il raggio per M incontra l'arco.
Disegniamo le corde AP e PB.
dt è dunque l'angolo sotteso dalla corda AP. Esso giace sul piano XY (che contiene il triangolo OAP) della base del cono.
Poichè l'ampiezza dell'angolo dt è infinitesima possiamo confondere la semicorda AM col semiarco infinitesimo di circonferenza passante per A e B.
Per la stessa ragione possiamo confondere la corda AP con l'arco infinitesimo della curva di base.
Chiamiamo dt' l'angolo sotteso dalla corda AP. Esso giace sul piano individuato dal triangolo CAP. Ragionando con gli infinitesimi tale piano può a tutti gli effetti essere considerato il piano di sviluppo.
Con qualche conto si riesce a scrivere l'ampiezza dell'angolo dt' in funzione:
dell'angolo dt
dell'altezza h del cono
del segmento OA (cambio notazione e mi adeguo a quella di Eugy OA lo chiamo r anziché rho e CA lo chiamo r' anzichè r)
della differenza infinitesima dr tra OA e OP
L'espressione che ho ricavato con un po' di geometria è:
dt'=RADQ(((rdt)^2+(dr)^2))/(h^2+r^2))
Da cui è evidente che la variazione dell'angolo t' non dipende solo dalla variazione dell'angolo t ma dipende anche dal raggio r e dalla sua variazione.
Nel caso della circonferenza avremo:
r = costante
da cui dr=0
e la formula precedente diventa (guarda un po'!):
dt'=dt*(r/l)
che è esattamente la formula valida per il cono circolare!!! 
Ora se vogliamo rendere la formula operativa bisogna fare altri conti per:
1) ricavare dr e dt in funzione di dr' e dt'
2) scrivere l'equazione differenziale della curva di base in coordinate polari (ve l'avevo detto che servivano le polari!) ovvero calcolare la derivata prima
3) sostituire dr e dt in modo che l'equazione differenziale diventi in dr' e dt'
4) integrare l'equazione (se possibile) per ricavare l'equazione ordinaria dello sviluppo in modo da poterla plottare. |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 01 Mar 2006 02:12 Oggetto: |
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Ho ricontrollato i conti e mi pare proprio siano ok.
Devo però fare un'errata corrige: avevo chiamato la curva di base del cono "generatrice" ma le generatrici sono le rette che appunto generano il cono...
Benny ho riletto il topic e mi sono reso conto di non averti risposto. Lo faccio ora.
Dici dunque che dovrò piegarmi all'idea che lo sviluppo della superficie laterale non possa superare 2*pigreco?
Ho fatto anch'io un po' di conti e parrebbe così.
Ma i conti li ho fatti prima di ipotizzare un legame differenziale tra i due angoli...
Non sono ancora convinto. Secondo me esiste qualche cono strano la cui superficie laterale sviluppata supera in ampiezza questo benedetto limite di 2*pigreco...
Uhm...
Mi è venuto in mente un caso limite carino. Chissà che non sia d'aiuto per immaginare un cono strano.
Prendete un foglio e ritagliate un quadrato. Fate quattro pieghe.
Due in un verso lungo le diagonali e altre due nell'altro verso lungo gli assi dei lati.
Poi assecondando le pieghe fate convergere in un sol punto i punti medi dei quattro lati sino a formare lo scheletro di una piramide a base quadrata.
Quello è un cono? Se lo è non può essere che un cono degenere. La linea di base in effetti è particolare. Comunque la superficie laterale descrive un intero angolo giro!
Questo però avvalora la tesi che 2*pigreco sia il limite e non aiuta certo a credere che sia valicabile!
Ma cosa succede se come linea di base prendiamo una stella con tanti rami molto lunghi e molto sottili in modo che assomigli allo scheletro di prima ma questa volta con anche "un po' di ciccia" intorno?
Oppure che succede se proviamo a costruire lo scheletro di prima ma con otto rami anziché quattro? quanti fogli servono? |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
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| Inviato: 01 Mar 2006 21:30 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | Ma cosa succede se come linea di base prendiamo una stella con tanti rami molto lunghi e molto sottili in modo che assomigli allo scheletro di prima ma questa volta con anche "un po' di ciccia" intorno?
Oppure che succede se proviamo a costruire lo scheletro di prima ma con otto rami anziché quattro? quanti fogli servono? |
Uhm...
Trovo questo è un ragionamento affascinante, ma mi lascia un tantino perplesso...
E' un po' come costruire il cono come il solido di rotazione che in effetti è, solo che aggiungendo sempre più pieghearriveremo a costruire qualcosa sempre più vicino ad un cono, ma direi non tanto alla sua superficie laterale, quanto al suo volume.
Devi tener conto che quella che ottieni è una superficie plissettata e lo sviluppo di tale superficie è ben maggiore rispetto alla superficie del cono che la contiene.
Fare la somma di tutte le superfici del plissé equivale ad integrare la prima piega sull'angolo giro.
Però la tua idea non la scarterei a priori, e anzi me ne ha fatta venire in mente un'altra:
Pensiamo, anziché ad un foglio quale noi lo conosciamo, ad una spirale.
In pratica quella che otterresti rototraslando un segmento attorno ad un asse...
Ho provato a fare un disegno, spero renda:
Partendo da questa figura, e iniziando da uno dei due lati corti della spirale a fare delle pieghette, tipo quelle di un ventaglio, alla fine, provando a unire i due lati, potrebbe uscire qualcosa di simile ad un cono?
E l'angolo di rotazione dello sviluppo sarebbe maggiore di 2*pi, e anzi tanto maggiore sara tale angolo tanto più sarà approssimato ad un cono.
Sto viaggiando troppo con la fantasia?
Non so perché ma ho come l'impressione che tra un po' inizieremo a parlare di ipercono!  |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 02 Mar 2006 16:20 Oggetto: |
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'spè...
Una precisazione: in geometria analitica con cono si intende una superficie (immersa nello spazio tridimensionale) generata dalle rette di un fascio con sostegno in un punto C (il vertice del cono) che passano per una certa curva nello spazio.
Generalmente la curva (che chiamo impropriamente "curva di base") è piana e chiusa.
Formalmente, quindi, il cono non è un solido ma è costituito unicamente dalla superficie laterale. Di più è senza base, si sviluppa da entrambi i lati di C (come una clessidra) e ha estensione infinita.
Il quesito che mi ponevo era trovare un cono (individuato da una curva di base) il cui sviluppo abbia ampiezza superiore ad un angolo giro.
La figura che hai postato rende esattamente l'idea: quella spirale (ottenuta ruotando e non rototraslando) è lo sviluppo della figura che dici (e alla quale pensavo io) ovvero di un cono la cui base è una stella.
Ho provato a costruire lo scheletro di cui parlavo. Lo chiamo scheletro perché, per come è costruito, ha la superficie laterale costituita da triangoli a due a due contrapposti. Dunque non ha volume al suo interno e credo proprio che sia una figura degenere.
In ogni caso rende l'idea.
Ecco in maniera pedante i passaggi della costruzione.
1) si ritagliano due quadrati identici e si costruiscono due coni a stella con 4 raggi:
2) poi si fa un taglio lungo l'asse del quadrato originale per metà della sua lunghezza e per entrambi i coni:
3) infine si incolla un lembo di un cono col un lembo dell'altro cono (i lembi devono essere alternati):
4) avremo così ottenuto lo "scheletro" a stella con 8 rami:
5) e lo sviluppo della sua superficie laterale ha una estensione angolare pari a 4*pigreco:
6) se poi vogliamo dare volume allo scheletro basta richiudere il nostro foglio e tagliare via dalla base un triangolino in modo da accorciare l'altezza del cono (niente immagine qui, ho già messo via la macchina fotografica!).
Il risultato sarà il controesempio cercato: un cono il cui sviluppo ha estensione angolare maggiore di un angolo giro (avendo tagliato un pezzo di base l'estensione non sarà più uguale a 4*pigreco ma un poco più piccola).
La curva di base è un poligono equilatero concavo (ovvero una stella a 8 punte) ma direi che è evidente che le cose non cambiano se al posto di un poligono usiamo una qualsiasi curva concava senza punti angolosi. |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
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| Inviato: 02 Mar 2006 19:04 Oggetto: |
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Con le foto risulta tutto più chiaro...
In pratica parlavamo della stessa cosa, ma a parole è difficile capirsi.
L'unica cosa è che mi ero fissato sulla concezione standard del cono, con base circolare e sulla sua costruzione come solido di rotazione di un triangolo.
Dopotutto dimenticavo che il cono circolare è uno dei casi particolari di questo solido, come il quadrato altro non è che un quadrilatero particolare e così via con migliaia di altri esempi.
Devo dire che l'esempio regge, anche se esce dai canoni.
| ulisse ha scritto: | | quella spirale (ottenuta ruotando e non rototraslando) |
in effetti quella che intendo io è una rotazione, mi sono fatto ingannare perchè la figura che ho postato non è fedelissima ai miei pensieri, in quanto oltre a ruotare trasla di qualche unità, poiché ho fatto compiere al segmento due rotazioni distinte attorno a due assi sghembi (la spirale e il suo asse). |
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