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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 02 Mar 2007 19:29 Oggetto: Re: ... e la teoria della misura? |
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Ciao hungaricus!
Innanzi tutto grazie per l'interesse.
Orpo! Metti a dura prova la mia memoria!
C'è qualcosa nel tuo ragionamento che non mi sfagiola:
hungaricus ha scritto: | Questo dimostra solo che SE voglio avere una probabilità "uniforme" su insiemi infiniti, la probabilità su insiemi finiti dev'essere nulla. |
Cosa intendi con probabilità uniforme su insiemi infiniti?
hungaricus ha scritto: | Ma non dimostra che non si possa definire una tale probabilità. |
Sotto un certo aspetto è vero. Per dimostrare che tale probabilità non può essere definita su un insieme infinito numerabile basta però aggiungere il 3° postulato delle misure di probabilità.
Il 3° postulato (dell'additività numerabile) afferma che la misura dell'unione infinita di sottoinsiemi disgiunti deve essere uguale alla somma infinita delle misure dei singoli sottoinsiemi.
Ecco cosa succede affermando che P(A)=0 per ogni A finito:
dove la famiglia A_i è una qualunque partizione infinita di N in cui ogni A_i è finito (ad esempio prendi i singoletti A_i={i})
Credo che il nocciolo della questione sia il seguente.
Se il supporto è soltanto numerabile il 3° postulato produce la contraddizione sopra riportata.
Invece, nel caso di insiemi continui, ciò che esponi è la norma.
Ad esempio su R la probabilità di un insieme costituito da un punto o da un numero finito di punti è per definizione sempre nulla.
hungaricus ha scritto: | Alla fin fine, la probabilità non è altro che una misura. |
Per la precisione, da Kolmogorov in poi, la probabilità è una misura.
hungaricus ha scritto: | Se non vado errato, nessuno mi vieta di definire una misura m sull'insieme N dei numeri naturali tale che m(N)=1. |
Al contrario, il 2° postulato ti vieta di fare diversamente!
hungaricus ha scritto: | Se voglio che la misura sia uniforme, cioè che m(S)=m(S') dove S' è una qualsiasi traslazione di S, allora ottengo in particolare che: se S è finito, allora m(S)=0 |
Ancora, questa affermazione vale ma per supporti non numerabili.
Concordi o vedi qualche incongruenza che a me è sfuggita? |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 02 Mar 2007 20:01 Oggetto: |
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_L_ ha scritto: | si potrebbe anche definire la probabilità su un insieme finito con N elementi, e poi far tendere N a infinito
es: |
Il problema non è trovare il modo di definire una funzione che associ ai due insiemi P e D il valore 1/2.
Il problema è farlo in modo che tale funzione non violi i postulati delle misure di probabilità.
La misura di probabilità è una funzione definita su una sigma algebra a valori in R+ tale che:
1) 0<=P(A)<=1 per ogni insieme A della sigma algebra
2) P(omega)=1 dove omega è il supporto
3) additività numerabile
In effetti detto 0 l'insieme vuoto, la famiglia {0, P, D, N} è una sigma algebra e la funzione P:
P(0)=0
P(P)=1/2
P(D)=1/2
P(N)=1
è a tutti gli effetti una misura di probabilità.
A furia di pensarci, però, mi sorgono innumerevoli dubbi.
E' vero che tale misura di probabilità non è in grado di rispondere alla domanda: qual è la probabilità che un numero intero estratto a caso da N sia pari?
Ho sostenuto strenuamente che no, non è in grado ma adesso, forse perché è ora di cena, comincio a dubitare...
Ho mandato una mail ad un collega che insegna giusto giusto probabilità e teoria della misura. Vediamo cosa risponde...
Nel frattempo ogni intervento è gradito! |
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