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ulisse
Dio maturo
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Registrato: 02/03/05 01:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)

MessaggioInviato: 02 Mar 2007 19:29    Oggetto: Re: ... e la teoria della misura? Rispondi citando

Ciao hungaricus!
Innanzi tutto grazie per l'interesse.

Orpo! Metti a dura prova la mia memoria!

C'è qualcosa nel tuo ragionamento che non mi sfagiola:

hungaricus ha scritto:
Questo dimostra solo che SE voglio avere una probabilità "uniforme" su insiemi infiniti, la probabilità su insiemi finiti dev'essere nulla.

Cosa intendi con probabilità uniforme su insiemi infiniti?

hungaricus ha scritto:
Ma non dimostra che non si possa definire una tale probabilità.

Sotto un certo aspetto è vero. Per dimostrare che tale probabilità non può essere definita su un insieme infinito numerabile basta però aggiungere il 3° postulato delle misure di probabilità.

Il 3° postulato (dell'additività numerabile) afferma che la misura dell'unione infinita di sottoinsiemi disgiunti deve essere uguale alla somma infinita delle misure dei singoli sottoinsiemi.

Ecco cosa succede affermando che P(A)=0 per ogni A finito:


dove la famiglia A_i è una qualunque partizione infinita di N in cui ogni A_i è finito (ad esempio prendi i singoletti A_i={i})

Credo che il nocciolo della questione sia il seguente.
Se il supporto è soltanto numerabile il 3° postulato produce la contraddizione sopra riportata.
Invece, nel caso di insiemi continui, ciò che esponi è la norma.
Ad esempio su R la probabilità di un insieme costituito da un punto o da un numero finito di punti è per definizione sempre nulla.

hungaricus ha scritto:
Alla fin fine, la probabilità non è altro che una misura.

Per la precisione, da Kolmogorov in poi, la probabilità è una misura.

hungaricus ha scritto:
Se non vado errato, nessuno mi vieta di definire una misura m sull'insieme N dei numeri naturali tale che m(N)=1.

Al contrario, il 2° postulato ti vieta di fare diversamente!

hungaricus ha scritto:
Se voglio che la misura sia uniforme, cioè che m(S)=m(S') dove S' è una qualsiasi traslazione di S, allora ottengo in particolare che: se S è finito, allora m(S)=0

Ancora, questa affermazione vale ma per supporti non numerabili.

Concordi o vedi qualche incongruenza che a me è sfuggita?
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ulisse
Dio maturo
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Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)

MessaggioInviato: 02 Mar 2007 20:01    Oggetto: Rispondi

_L_ ha scritto:
si potrebbe anche definire la probabilità su un insieme finito con N elementi, e poi far tendere N a infinito
es:

Il problema non è trovare il modo di definire una funzione che associ ai due insiemi P e D il valore 1/2.

Il problema è farlo in modo che tale funzione non violi i postulati delle misure di probabilità.

La misura di probabilità è una funzione definita su una sigma algebra a valori in R+ tale che:
1) 0<=P(A)<=1 per ogni insieme A della sigma algebra
2) P(omega)=1 dove omega è il supporto
3) additività numerabile

In effetti detto 0 l'insieme vuoto, la famiglia {0, P, D, N} è una sigma algebra e la funzione P:
P(0)=0
P(P)=1/2
P(D)=1/2
P(N)=1
è a tutti gli effetti una misura di probabilità.

A furia di pensarci, però, mi sorgono innumerevoli dubbi.

E' vero che tale misura di probabilità non è in grado di rispondere alla domanda: qual è la probabilità che un numero intero estratto a caso da N sia pari?
Ho sostenuto strenuamente che no, non è in grado ma adesso, forse perché è ora di cena, comincio a dubitare...

Ho mandato una mail ad un collega che insegna giusto giusto probabilità e teoria della misura. Vediamo cosa risponde...

Nel frattempo ogni intervento è gradito!
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