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Taifu
Semidio
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 Inviato: 07 Mar 2007 11:37 Oggetto: * Il contadino maratoneta |
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Un contadino aveva reso un servigio al signore della sua contea che, per ricompensarlo, decise di donargli un bel pezzo di terra.
"Caro contadino - disse il conte - voglio donarti tutta la terra che riuscirai a recintare in un giorno usando questi paletti per delimitare l'area che desideri".
Il contadino era un antenato di Baldini ed era quindi in grado di correre per un giorno intero a velocità costante ma, ogni volta che avrebbe piantato un paletto, avrebbe speso un minuto del suo tempo.
Il nostro, che aveva le mani grosse ma il cervello fino, ci pensò a lungo e alla fine disse: "Ottimo! Prendo questi paletti e parto subito!".
La domanda è: quanti paletti prese il contadino per poter delimitare la maggior area possibile, ritornando al punto di partenza nelle 24 ore?
Variante:
rispondere alla precedente domanda nel caso in cui il contadino non sia obbligato a ritornare al punto di partenza |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 07 Mar 2007 17:57 Oggetto: |
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| Citazione: | Pare che il re abbia detto la stessa cosa anche ad un altro contadino aggiungendo che la terra sarebbe stata assegnata a chi avesse recintato il territorio più ampio e mettendo così i due in competizione.
Mentre il primo contadino partiva come un missile per recintare quanta più terra poteva, il secondo contadino ha piantato un solo paletto sul posto e ha detto "mi prendo tutta la terra racchiusa qui fuori!" |
no, eh?
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 07 Mar 2007 18:05 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | Citazione: | Pare che il re abbia detto la stessa cosa anche ad un altro contadino aggiungendo che la terra sarebbe stata assegnata a chi avesse recintato il territorio più ampio e mettendo così i due in competizione.
Mentre il primo contadino partiva come un missile per recintare quanta più terra poteva, il secondo contadino ha piantato un solo paletto sul posto e ha detto "mi prendo tutta la terra racchiusa qui fuori!" |
no, eh?
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Tipo la bottiglia di Klein? 
Carina come idea ma non è la soluzione richiesta. Con un paletto (ma anche con due) il conte (e non il re! ) non avrebbe dato nessuna terra al contadino.
Immagina un elastico teso intorno ai paletti e l'interno dell'elastico rappresenta l'area regalata. |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 07 Mar 2007 19:44 Oggetto: |
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Ci avevo provato... 
Se fossi il contadino prenderei con me | Citazione: | 3 paletti.
Tre paletti li pianto percorrendo i due cateti di un triangolo rettangolo (che tra tutti i triangoli con somma di due lati costante è quello che massimizza l'area).
Quattro paletti li pianto percorrendo 3 lati di un rettangolo (un trapezio di pari altezza ha identica somma delle basi e quindi ha la stessa area).
Usando il "metodo Salmastro" supponiamo che la mia velocità v sia di 1 metro al minuto (sono una scheggia eh? 8) )
Allora con 3 paletti in 1437 minuti percorrerò Lt=1437 m e con 4 paletti avrò Lr=1436 m
Pianto il primo paletto e poi mi allontano da esso x metri e ne pianto un secondo.
Giro ad angolo retto e proseguo il lavoro.
Alla fine avrò recintato un'area pari a x(1437-x)/2 mq nel caso del triangolo e x(1436-2x) mq nel caso del rettangolo.
Entrambe le curve sono parabole con concavità verso il basso quindi entrambe ammettono massimo.
La superficie del triangolo ha massimo in x = 1437/2 mentre quella del rettangolo ha massimo in x = 359.
L'area massima del triangolo è quindi circa 258121 mq mentre quella del rettangolo è 257762 mq.
Ecco quindi che mi conviene portarmi dietro solo 3 paletti. La scelta non cambia al cambiare della mia velocità. |
Molto carino! |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 07 Mar 2007 21:33 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | La scelta non cambia al cambiare della mia velocità. |
Questo è giusto.
Il resto è diverso dalla soluzione che ho io...
Wait.
Trovato: la frase incriminata è questa "and be back at your starting point in 24 hours". Il contadino è obbligato a tornare al punto di partenza.
La tua soluzione è giusta senza questa limitazione per cui bravo! 
Adesso però prova a risolvere questa seconda versione (magari aggiungi la postilla nel testo originale se vuoi, grazie). |
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Salmastro
Dio minore
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 08 Mar 2007 11:42 Oggetto: |
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...pensando ad un altro problema "isoperimetrico"
davo per scontata la precisazione di Taifu...
comunque, con metodi brutali, excel, a me viene
se non perdesse tempo a piantare paletti ritorneremmo al problema celato, ma con infiniti paletti, | Citazione: | per cui assodato che la figura "disegnata" deve essere un poligono regolare di n lati (n=paletti) così come in funzione del lato, nel caso di perimetro P costante, abbiamo che l'area vale A=P^2/(4n*tan(pg/n)), dove pg...è pigreco, cerco una formula analoga nel caso di perimetro variabile, osservando che il perimetro è dato dalla distanza percorsa in un giorno diminuita della distanza che non percorre quando pianta gli n paletti. Senza...perdere in generalità, diciamo che il contadino percorre un bertoldino al minuto; in un giorno ne percorre 1440, piantando paletti P=(1440-n): il range di n è compreso fra 3 e 1440!
Se partendo dalla A di cui sopra (che è in funzione del perimetro costante), mi ricavo la A in funzione del lato, ottengo che A=(n*L^2)/(4*tan(pg/n))
una formula analoga per il problema in esame è:
A=((P-n)^2)/(4n*tan(pg/n))
con n compreso fra 3 e 1440 (interi!)
non la so studiare, così l'ho messa in excel e m'è venuto fuori che in ordine di grandezza queste sono le aree maggiori: 17 (medaglio d'oro) e poi 16,18,15,19,20,14,21,22...
è una funzione crescente da 3 a 17 e decrescente dopo, ovviamente, abbastanza ripida nel primo tratto (fino al massimo), dolcemente declinante fino ad un certo punto, di nuovo ripida alla fine.
P.S.: se un bertoldo (che è pari a 3 bertoldini) vale circa un Km l'andatura sarebbe quella di un ottimo maratoneta! |
??? e ciao
Salmastro |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
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| Inviato: 08 Mar 2007 12:24 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ...pensando ad un altro problema "isoperimetrico"
davo per scontata la precisazione di Taifu...
comunque, con metodi brutali, excel, a me viene
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Bravò! (con l'accento sulla o)
La formula precisa da massimizzare è questa:
| Citazione: | | A = v^2 * cot(180/n) * ((1440 - n)^2) / (4n) |
A occhio ecco sotto il massimo:
 [/img] |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 08 Mar 2007 14:31 Oggetto: |
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...sono curioso di conoscere la trattazione ("rigorosa") nel caso in cui non c'è l'obbligo di tornare al punto di partenza
Sal |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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| Inviato: 08 Mar 2007 16:20 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ...sono curioso di conoscere la trattazione ("rigorosa") nel caso in cui non c'è l'obbligo di tornare al punto di partenza
Sal |
Grazie per la richiesta!
Mi ha consentito di verificare che ho fatto un po' troppe semplificazioni...
Se è vero che nel caso di 3 paletti l'angolo retto in B ottimizza l'area, non è altrettanto vero con 4 paletti!!!
Quindi la mia risposta alla variante non è corretta. |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 08 Mar 2007 16:33 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ...pensando ad un altro problema "isoperimetrico"
davo per scontata la precisazione di Taifu... |
Ho trovato un PDF che descrive storicamente il problema.
Riflettendo ancora un pochetto mi sono convinto che la variante, evitando al contadino di percorrere l'ultimo lato del poligono fa crollare la regolarità della figura aumentando in maniera significativa la complessità del problema.
Sbaglio? (ormai questa è per me una domanda retorica... devo controllare quando ho fatto l'ultimo tagliando ai neuroni...) |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
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| Inviato: 08 Mar 2007 16:50 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | salmastro ha scritto: | ...pensando ad un altro problema "isoperimetrico"
davo per scontata la precisazione di Taifu... |
Ho trovato un PDF che descrive storicamente il problema.
Riflettendo ancora un pochetto mi sono convinto che la variante, evitando al contadino di percorrere l'ultimo lato del poligono fa crollare la regolarità della figura aumentando in maniera significativa la complessità del problema.
Sbaglio? (ormai questa è per me una domanda retorica... devo controllare quando ho fatto l'ultimo tagliando ai neuroni...) |
Credo che questo potrebbe essere un bellissimo esempio per un algoritmo genetico: possiamo indicare la soluzione con una sequenza di cromosomi (numero di passi, angoli e lunghezze dei lati) e la funzione di valutazione è quella che calcola l'area.
Appena ho una mezza giornata da dedicargli mi cimento.
Sempre che nel frattempo qualcuno non tiri fuori una risposta matematica conclusiva.
E sempre che qualcuno mi dica come fare per calcolare l'area di un poligono irregolare di cui conosco solo angoli e lunghezza di tutti lati tranne l'ultimo... 
Ops... |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 08 Mar 2007 17:39 Oggetto: |
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...un'idea e nulla di più!
Supponiamo che il contadino abbia due giorni di tempo, otterremmo come miglior risultato ancora una volta un poligono regolare di N lati: dividiamolo in due e, forse, abbiamo risolto il problema...
naturalmente c'è da affinare qualcosa..., ci penso meglio!
ciao
Sal |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 08 Mar 2007 17:53 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ...un'idea e nulla di più!
Supponiamo che il contadino abbia due giorni di tempo, otterremmo come miglior risultato ancora una volta un poligono regolare di N lati: dividiamolo in due e, forse, abbiamo risolto il problema...
naturalmente c'è da affinare qualcosa..., ci penso meglio!
ciao
Sal |
Ci ho già provato con il file Excel (ebbene sì, l'ho usato anche io per la soluzione) ma non ho cavato un ragno dal buco: invece che raddoppiare i giorni puoi dimezzare l'area.
Vediamo se tu ottieni qualcosa di più del mio zero spaccato |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 08 Mar 2007 18:40 Oggetto: |
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...sempre con excel, | Citazione: | indicando il tempo a disposizione del contadino pari a 2 giorni (2.880 minuti) ottengo (sempre con quella formula) il miglior risultato con 21 paletti, a ruota seguono 22 e 20. Dovendo dividere per due, sono sfortunato...o forse no, perchè, per come è impostato questo "cavallo di troia", hanno senso solo le soluzioni con un numero pari di paletti (2 alle estremità ed un ugual numero sopra e sotto il segmento congiungente le stesse estremità). Per cui prendo la prima soluzione con un numero totale pari, cioè 22, data da 2 (arrivo e partenza) più 10 sopra più 10 sotto, escludo i "soprani" o i "sottani", ed ottengo 12 come miglior risultato.  |
ciao
Sal
P.S.: dice Taifu di raddoppiare (veramente dice dimezzare) le aree, ma, nello specifico, credo, che le superfici più che raddoppiarsi, si quadruplichino... |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 08 Mar 2007 20:12 Oggetto: |
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| Taifu ha scritto: | E sempre che qualcuno mi dica come fare per calcolare l'area di un poligono irregolare di cui conosco solo angoli e lunghezza di tutti lati tranne l'ultimo...
Ops... |
Calcolare l'area di un poligono note le coordinate dei vertici pare non sia un problema! |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 12 Mar 2007 16:45 Oggetto: |
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...ma il mio ultimo post è "la risposta definitiva"?
attendo conferma (o confutazione)
ciao
Salmastro |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 12 Mar 2007 16:53 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ...ma il mio ultimo post è "la risposta definitiva"?
attendo conferma (o confutazione)
ciao
Salmastro |
Purtroppo non conosco la risposta del problema "aperto".
Numericamente la tua soluzione come si raffronta con la soluzione con tre paletti di Ulisse? |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 15 Mar 2007 20:15 Oggetto: |
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Dubito fortemente che valga la pena confrontare la mia soluzione.
Si basa su tre ipotesi
1) tra tutti i triangoli con somma dei cateti costante quello rettangolo ha l'area massima (banalmente vero)
2) tra tutti i quadrilateri con somma delle basi e dell'altezza costante i trapezi rettangoli hanno area massima (e qui già siamo nel mare delle falsità)
Avendo a questo punto verificato che tra triangolo rettangolo e trapezio rettangolo c'è una piccolissima differenza a favore del triangolo ho tratto la terza conclusione (dedotta correttamente da ipotesi scorrette) che essendo il triangolo "migliore" del quadrilatero, lo è anche di ogni poligono con più di 4 lati. |
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paolopan
Eroe
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Residenza: Firenze
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| Inviato: 30 Ott 2007 19:27 Oggetto: |
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secondo me il contadino potrebbe racchiudere dentro lo spazio dei paletti almeno metà del Pianeta TERRA!!!!
piantando un paletto e poi facendo il giro completo del pianeta
P.S. come minimo uno che va alla stessa velocità della terra sa anche camminare sull'acqua (o nuotare)
del resto non s'era parlato della velocità a cui può andare il contadino velocista
ghghgh
Lo spazio curvo è la soluzione a tutti i problemi del contadino |
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