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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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 Inviato: 18 Set 2009 17:50 Oggetto: La termite e il cubo |
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Immaginate un grosso cubo formato incollando assieme 27 cubetti di legno di grandezza uniforme. Una termite è posta al centro di una faccia di uno qualsiasi dei cubi esterni e scava un percorso che la fa passare una volta attraverso ogni cubo. Il suo movimento è sempre parallelo ad un lato del cubo grande, mai in diagonale.
E' possibile che la termite passi attraverso ognuno dei 26 cubi esterni una ed una sola volta e termini il suo percorso entrando nel cubetto centrale per la prima volta?
Se possibile, mostrare come fa; se impossibile, dimostrarlo.
N.B.: si suppone che la termite, una volta forato un cubo piccolo, segua un percorso interamente interno al cubo grande. Altrimenti potrebbe sbucare fuori sulla superficie del cubo grande e muoversi lungo la superficie esterna sino ad un nuovo punto di entrata. Se ciò fosse permesso, il problema non sussisterebbe. |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 18 Set 2009 20:08 Oggetto: |
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| Citazione: |
All in su: impossibile! 
Ok ora la dimostrazione che temo non riuscirò a dare in modo accettabile...
1. non sappiamo il punto di partenza, ma solo quello d'arrivo quindi meglio pensare al percorso inverso
2. se il primo (ultimo in realtà) è il centrale del cubo, il secondo dovrà essere il centrale di una faccia, e fin qui è semplice
3. il terzo sarà dunque uno spigolo (da non confondere con il vertice), a questo punto abbiamo una L.
Ora devo convincervi che qualunque strada si percorra ne resterà sempre uno "salvo", un po' come l'highlander.... il bello alla prossima puntata se mi viene l'intuizione, dato che non mi va di considerare tutti i bivi, oppure se qualcuno mi anticipa...
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
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| Inviato: 19 Set 2009 08:34 Oggetto: |
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| Citazione: | Come nella soluzione di Massive X, supponiamo di fare il percorso inverso partendo dal cubetto al centro del cubo.
Il secondo cubetto attraversato puo' essere solo quello centrale di una delle sei facce del cubo. Chiamo:
A: i 6 cubetti centrali di ogni faccia del cubo grande
B: i 12 cubetti che costituiscono gli spigoli del cubo
C: gli 8 cubetti che costituiscono i vertici del cubo
Osservo che:
da A posso andare solo in B
da B posso andare in A oppure C
da C posso andare solo in B
Di conseguenza un qualunque percorso puo' essere rappresentato solo dalla sequenza:
A - B - (A,C) - B - (A,C) - B - (A,C) - B - ......
dove con (A,C) indico il fatto che possiamo scegliere A oppure C.
Dato che nei posti pari di questa sequenza può comparire soltanto B e dato che il numero di cubetti di tipo B è 12,
la sequenza complessiva potrà interrompersi al massimo dopo 12*2+1=25 passi (in A o in C),
senza riuscire ad attraversare tutti i 26 cubetti che costituiscono il guscio esterno del cubo grande. |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 19 Set 2009 11:59 Oggetto: |
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Mi si è accesa la lampadina passeggiando per Königsberg:
| Citazione: |
Rispolverando la teoria dei grafi assumiamo che ogni cubo sia un nodo e ogni possibile via tra due nodi sia un ramo.
I nodi con un numero di rami pari non danno alcun problema, quelli con rami dispari si poiché per forza di cose dovranno essere o punto di partenza o di arrivo se vogliamo attraversare tutto il grafo senza passare due volte dallo stesso nodo, quindi possiamo avere al massimo 2 nodi dispari.
Siccome il cubo ha 8 vertici e da ogni vertice si può andare solo ad uno dei tre spigoli è evidente che avendo 8 nodi dispari non sarà mai possibile attraversare tutti i cubi passandoci una sola volta.
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Ovviamente lo stesso vale per qualunque cubo (tridimensionale) partendo da qualunque punto.
PS: tutto ciò mi ricorda anche il film "The cube", povere termiti... |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 19 Set 2009 12:29 Oggetto: |
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ahimè, oscura è per me la teoria dei grafi e mi è, pertanto, negato qualsiasi commento alle osservazioni di Massive: mi fido sulla parola 
le umane parole di Jowex, invece, le ho comprese e mi sembrano inattaccabili
probabilmente sono equivalenti (bisognerebbe tradurre Jowex in grafese), così come, sempre probabilmente, è pure equivalente la soluzione "ufficiale" in mio possesso, assai semplice in verità.
Se qualcuno ci vuol provare, basta solo solo considerare che i cubi sono 27, di cui uno centrale, e immaginare che la termite giochi una partita di...
| Citazione: | | iperscacchi... |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 19 Set 2009 13:35 Oggetto: |
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Muble Muble Muble...
Quanto mi sento ignorante 
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 19 Set 2009 17:44 Oggetto: |
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| Mi sa che il ragionamento che ho fatto vale solo per i rami e non per i nodi... ci dovrei pensare, ma tanto la soluzione di Jowex è esatta. |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 21 Set 2009 11:43 Oggetto: |
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allo scadere delle 48 ore (manca un'oretta, lo so) posto la soluzione "ufficiale"
| Citazione: | Come detto, non è possibile che la termite passi una volta sola attraverso i 26 cubetti esterni e termini il suo viaggio in quello centrale.
Ciò si dimostra facilmente immaginando che i cubetti siano di colori alternati, come le caselle di una scacchiera tridimensionale: il cubo grande consisterebbe, pertanto di 13 cubetti di un colore e di 14 di un altro.
Il cammino della termite è sempre all'interno di cubetti che si alternano in colore durante il percorso; perciò, se il percorso deve includere tutti i 27 cubetti, deve cominciare e terminare con un cubetto appartenente al gruppo di 14.
Il cubo centrale, però, appartiene al gruppo dei 13... |
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