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Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 10 Ott 2009 11:01 Oggetto: Quanti piccoli indiani? |
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Dalle memorie di Hubert de la Pâte Feuilletée, noto ai pellerossa come Double-scalp.
Questo era il giorno in cui la tribù dei Shavashava si dedicava all?annuale rituale della visita alle dieci rocce sacre. All?alba, i guerrieri uscirono dall?accampamento in fila indiana, raggiunta che fu la prima roccia, uno di essi restò presso di essa, per compiere i riti propiziatori, gli altri, divisi in due file composte da un ugual numero di indiani, proseguirono il cammino. Giunti alla seconda roccia, uno rimase e gli altri seguitarono il percorso, esattamente divisi in tre file. Alla terza tappa, al solito, uno sostò e gli altri, divisi in quattro file, proseguirono. E così via. Infine, alla nona roccia, essendo ivi rimasto uno dei pellerossa, tutti gli altri si diressero, divisi in dieci file, verso il decimo luogo sacro, dove giunsero al tramonto e la cerimonia si concluse.
Quanti erano, come minimo, gli indiani che hanno partecipato alla processione? |
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 11 Ott 2009 04:56 Oggetto: |
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Ci sto diventando scemo ed internet sta volta non mi aiuta per niente non trovo il modo di elaborare i dati 
Quello che posso dire per ora è:
| Citazione: |
la fila iniziale è un numero che chiameremo N
la fila arriva alla prima roccia e li ne rimane 1 e i rimanenti vanno via in due file uguali quindi (N-1) Mod 2 = 0
La fila arriva alla seconda roccia e li ne rimane 1 poi la fila riparte in tre fila uguali quindi (N-2) Mod 3 = 0
E così via costruendo tutta la lista di passaggi abbiamo il sistema:
(N-1) mod 2 = 0 (divisibile per 2)
(N-2) mod 3 = 0 (divisibile per 3)
(N-3) mod 4 = 0 (divisibile per 4)
(N-4) mod 5 = 0 (...
(N-5) mod 6 = 0
(N-6) mod 7 = 0
(N-7) mod 8 = 0
(N-8 ) mod 9 = 0
(N-9) mod 10 = 0 (divisibile per 10)
Essendo:
10 multiplo di 5 e di 2
9 multiplo di 3
8 multiplo di 4 e di 2
7, 6 primi rispetto agli altri
5,4,3,2 si possono togliere dal sistema di ricerca cosicché rimangano solo
(N-9) mod 10 = 0
(N-8 ) mod 9 = 0
(N-7) mod 8 = 0
(N-6) mod 7 = 0
(N-5) mod 6 = 0
Per convincerci di questo prendiamo un esempio:
Per N = 19
(N-9) mod 10 = 0 (è divisibile per 10)
(N-1) mod 2 = 0 (quindi è divisibile per 2)
(N-4) mod 5 = 0 (ed anche per 5)
A noi però non bastano solo i 3 criteri soddisfatti nell' esempio ma dobbiamo soddisfare tutti quelli selezionati più sopra.
Altre considerazioni:
Se N-9 mod 10 = 0 allora N termina con 9
Se N-7 mod 8 = 0 allora, divenendo l' ultima cifra 9-7= 2, per il criterio di divisibilità per 8, la seconda cifra deve essere DISPARI {1,3,5,7,9}
Uffa.. mi sono gia perso... AIUTOOOOOOOOOoooooooooo 
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
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| Inviato: 11 Ott 2009 12:56 Oggetto: Re: Quanti piccoli indiani? |
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| Citazione: | Tutta la storia si può riassumere in:
1. (x - 1) % 2 = 0
2. (x - 2) % 3 = 0
3. (x - 3) % 4 = 0
4. (x - 4) % 5 = 0
5. (x - 5) % 6 = 0
6. (x - 6) % 7 = 0
7. (x - 7) % 8 = 0
8. (x - 8 ) % 9 = 0
9. (x - 9) % 10 = 0
dove x rappresenta il numero totale di indiani e % è l'operazione di modulo (ovvero la prima riga significa: "x-1 deve essere divisibile per 2")
Consideriamo la 9: x deve essere un numero con l'ultima cifra uguale a 9 (in modo che x-9 sia divisibile per 10)
Se vale la 9, le relazioni 1 e 4 sono sempre soddisfatte e possiamo ignorarle
(perché x-1 è sicuramente pari e x-4 finisce con 5 ed è sempre divisibile per 5)
Ora consideriamo la 8: sottraendo 8 a x si otterrà lo stesso numero con l'ultima cifra uguale a 1. Affinché sia divisibile per 9 occorre che la somma di tutte le cifre sia uguale a 9, ovvero la somma di tutte le cifre di x esclusa l'ultima deve essere 8.
Se vale anche la 8, allora le relazioni 2 e 5 sono sempre soddisfatte e possiamo ignorare anche queste.
(infatti la somma delle cifre di x-2 risulterebbe 15 e quella di x-5 risulterebbe 12, quindi entrambi i numeri sono divisibili per 3, e inoltre il secondo è anche divisibile per 2)
Per quanto detto sopra, i numeri che soddisfano le relazioni trovate (tutte escluse 3,6,7) saranno:
89, 179, 269, 359... ovvero tutti i numeri del tipo: x = 90k - 1, con k>=1
Osserviamo che se la 7 è soddisfatta e x-7 è divisibile per 8, allora anche la 3 è soddisfatta perché x-3 sarà divisibile per 4 (perché la differenza tra i due numeri è 4).
Quindi le relazioni ancora da verificare sono solo la 6 e la 7.
Per la 6: x - 6 = 90k - 7 è divisibile per 7 quando lo è anche 90k cioé quando k = 7p (dato che 90 e 7 sono primi tra loro)
Per la 7: x - 7 = 90k - 8 è divisibile per 8 quando lo è anche 90k cioé quando k = 4q (dato che il MCD(90,8 ) è 2)
Uguagliando k si ottiene 7p = 4q quindi il minimo si ottiene per p=4, q=7 e k=28
Conclusione: il numero minimo di indiani è x = 90*28 - 1 = 2519
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
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| Inviato: 11 Ott 2009 13:05 Oggetto: |
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| Citazione: |
((((((((10+1)*9+1)*8+1)*7+1)*6+1)*5+1)*4+1)*3+1)*2+1 = 4037913
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 11 Ott 2009 14:51 Oggetto: |
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NOOOOOOOOOOOO
sono arrivato tarrdi
Comunque ci sono arrivato.. non so ancora come ma ci sono arrivato.. una risma di carta un guazzabuglio di ragionamenti strani.. qualche incubo ed ecco il numero.. fatale
| Citazione: |
2519
N = 2519
(N-1)/2 = 1259 (dalla prima roccia partono due file identiche meno una persona)
(N-2)/3 = 839 dalla seconda roccia partono tre file identiche meno una seconda persona)
(N-3)/4 = 629 (...
(N-4)/5 = 503
(N-5)/6 = 419
(N-6)/7 = 359
(N-7)/8 = 314
(N-8 )/9 = 279
(N-9)/10 = 250 ( alla non roccia una nona persona rimane e le rimanenti in 10 file da 250 partono per la decima roccia) |
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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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| Inviato: 11 Ott 2009 15:01 Oggetto: |
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| d'oh! non mi ero accorto che prima di dividersi si riuniscono tutti i restanti... |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 12 Ott 2009 09:16 Oggetto: |
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complimenti a Jowex per aver scovato il numero giusto 
ed un  a Scrigno, per le su paginate 
ma, in verità, secondo me, partendo da un'identica tabella che i due solutori han postato, esiste un metodo, forse più elegante, di certo più sbrigativo, per arrivare al "numerone":
| Citazione: |
(N-1) mod 2 = 0 (divisibile per 2)
(N-2) mod 3 = 0 (divisibile per 3)
(N-3) mod 4 = 0 (divisibile per 4)
(N-4) mod 5 = 0 (...
(N-5) mod 6 = 0
(N-6) mod 7 = 0
(N-7) mod 8 = 0
(N-8 ) mod 9 = 0
(N-9) mod 10 = 0 (divisibile per 10)
ecco, osservando questa tabella, dovrebbe risaltare che se, ad esempio, (N-1) è divisibile per 2, lo è anche un altro "simpatico" (e riutilizzabile...) numero... |
pensateci un po' su   |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 14 Ott 2009 14:45 Oggetto: |
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EUREKA!
Non ci credevo quando questa mattina, tra un tubo e l' altro mi è venuto il lampo 
Il numero di indiani che servono per tale rito, qualsiasi sia il numero di pietre è:
| Citazione: | dato k = (numero delle pietre)
K = {1,2,3,...,k}
N = numero di indiani di partenza
N = mcm(K) - 1 per ogni k <> 2 e > 0
nel caso di 2 pietre N = k + 1
nel csao di 0 pietre non ha senso parlarne
Esempio:
Se prendiamo 3 pietre
k= 3
K= {1,2,3}
N=mcm({1,2,3}) - 1 = 6-1 = 5
avremmo 5 indiani che arrivano alla 1° pietra e li ne rimane 1
poi 4 indiani che arrivano alla 2° pietra e li ne lasciano 1
infine 3 indiani arriveranno alla 3° pietra
Con 10 pietre
k= 10
K= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
mcm(K) = 2^3 * 3^2 * 5 * 7 = 8 * 9 * 5 * 7 = 2520
N= 2520 - 1 = 2519
Errori permettendo 
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RiEdit:
Mi ero dimenticato la spiegazione:
Prendiamo l' esercizio iniziale con 10 pietre eravamo arrivati a scrivere un sistemino in questo modo
| Citazione: |
N-1= divisibile per 2
N-2 = divisibile per 3
....
N-9 = divisibile per 10
Ora io non so come scriverlo in matematichese ma è chiaro che se
N-1 è divisibile per 2 allora lo è anche N+1
N-2 è divisibile per 3 allora lo è anche N+1
...
N-9 è divisibile per 10 allora lo è anche N+1
Insomma N + 1 è Multiplo di tutti i miei divisori e visto che N deve essere non un N qualsiasi sarà certamente che N+1 = mcm (K) |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 14 Ott 2009 15:54 Oggetto: |
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bravo Scrigno 
la soluzione "elegante" è proprio quella da te indicata:
| Citazione: | e cioè che N+1 è il minimo comune multiplo dei numeri compresi fra 1 e 10 (in generale fra 1 e K, essendo K la quantità di rocce), come da te ben spiegato nell'EDIT del tuo ultimo post
nel nostro caso:
N+1 = 2^3*3^2*5*7=2520, da cui N=2519 |
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uomodeighiacci
Dio minore
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| Inviato: 16 Ott 2009 19:59 Oggetto: |
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domandina facile facile (anche troppo..)
Come fanno gli indiani a sapere di essersi messi in file esatte?
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 16 Ott 2009 20:30 Oggetto: |
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| uomodeighiacci ha scritto: | domandina facile facile (anche troppo..)
Come fanno gli indiani a sapere di essersi messi in file esatte?
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???
| Citazione: |
Un metodo facicle facile potrebbe essere che si tengono uniti per mano in gruppi di indiani pari al numero delle file che devono creare |
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uomodeighiacci
Dio minore
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| Inviato: 17 Ott 2009 10:04 Oggetto: |
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| Citazione: | con il tuo metodo ogni indiano deve aspettare che si formi la fila davanti a lui prima di aggiungersi, ci vorrebbe molto tempo prima di finire (come quando si ferma una colonna di macchine) e gli indiani sono minimo 2519
Non c'è un modo più rapido? un modo per cui ogni indiano ad ogni roccia sacra sappia in che fila mettersi? |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 17 Ott 2009 18:17 Oggetto: |
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| uomodeighiacci ha scritto: | | Citazione: | con il tuo metodo ogni indiano deve aspettare che si formi la fila davanti a lui prima di aggiungersi, ci vorrebbe molto tempo prima di finire (come quando si ferma una colonna di macchine) e gli indiani sono minimo 2519
Non c'è un modo più rapido? un modo per cui ogni indiano ad ogni roccia sacra sappia in che fila mettersi? |
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credo, usando
| Citazione: | | le classi di resti di modulo k, ove k è il progressivo della roccia e supponendo che gli indiani, come la B.B., abbiano ognuno il proprio numerino e che il "sostante" sia sempre quello con il numero più alto. |
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Massive X
Semidio
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| Inviato: 18 Ott 2009 09:16 Oggetto: |
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| Citazione: |
L'indiano restante alla pietra controlla che prima di avviarsi ognuno per la sua strada gli indiani siano in un gruppo di numero uguale a quello delle strade. Cioè se devono fare file da 5, l'indiano alla pietra fa un gruppo da 5 e li manda ognuno in ogni strada e così via...
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uomodeighiacci
Dio minore
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| Inviato: 19 Ott 2009 08:57 Oggetto: |
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la soluzione a cui avevo pensato è quella di salmastro
provvedo a parafrasarla 
| Citazione: | | Durante la formazione della prima fila il primo indiano dirà a voce alta "uno", il secondo "due" e proseguendo ogni indiano saprà il suo numero. Sia F il numero di file da formare, ogni indiano dividerà il propio numero per F, il resto dell'operazione sarà la fila in cui dovrà posizionarsi. L'ultimo indiano si fermerà alla roccia. |
complimenti anche a Massive per l'idea furba
| Citazione: | | Formare le file mentre gli indiani sono in movimento da una pietra all'altra |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 22 Ott 2009 11:40 Oggetto: |
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| uomodeighiacci ha scritto: | la soluzione a cui avevo pensato è quella di salmastro
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non ti avevo ancora ringraziato, lo faccio adesso!  |
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