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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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 Inviato: 02 Nov 2009 13:03 Oggetto: Caccia al numero |
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Cerchiamo il nostro numero “fortunato”!
Procediamo così: fra tutti i quadrati con il lato esprimibile con un numero intero scegliamone uno che abbia il perimetro uguale alla sua area. Sia Q tale valore comune.
Poi, tra tutti i rettangoli (che non siano anche quadrati) i cui lati siano dati da numeri interi, prendiamone uno che abbia, anche questo, perimetro uguale alla superficie: sia R tale valore comune.
Facciamo la media fra Q e R, eventualmente approssimando per difetto, ed infine otterreniamo un numero (intero): il nostro numero “fortunato”!
A voi, che numero è venuto? |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 02 Nov 2009 15:38 Oggetto: |
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Sal ne ho fatto solo metà...
Non mi ricordo una cosa magri semplicissima...
| Citazione: | Nel primo caso abbiamo un sistema dove:
Q= l^2 (lato al quadrato = area del quadrato)
Q=4l (4 volte il lato = perimetro del quadrato)
Quindi abbiamo:
l^2 = 4l
4= l^2 / l
Ed essendo l^2 = l * l
avremo l*l/l = 4 -> l=4 (lato del nostro quadrato)
Da quì:
Q(area) = 4^2 = 16 unità quadrate
Q(perimetro) = 4 * 4 = 16 unità
Per quanto riguarda il secondo quesito avremo sempre un sistemino dove:
R= a * b (Area = base * altezza)
R= 2(a+b) (perimetro = 2 volte la somma tra base ed altezza)
Dal quale ricaviamo l' equazione:
ab = 2(a+b)
[Non so risolverla ] |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 03 Nov 2009 12:24 Oggetto: |
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ciao, Scrigno! 
e se provassi a...
| Citazione: | | ricavare a in funzione di b? |
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dart
Eroe
Registrato: 24/02/09 12:06
Messaggi: 74
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| Inviato: 05 Nov 2009 23:31 Oggetto: |
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| Citazione: | 17?
Q dovrebbe essere 16 (se ho capito il testo!) ed R 18.
Infatti 4x4 = 4+4+4+4 e 3x6 = 3+6+3+6. |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 06 Nov 2009 15:42 Oggetto: |
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| dart ha scritto: | | Citazione: | 17?
Q dovrebbe essere 16 (se ho capito il testo!) ed R 18.
Infatti 4x4 = 4+4+4+4 e 3x6 = 3+6+3+6. |
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toh! è lo stesso numero che viene a me!
che sia l'unico?  ...vediamo se qualcun altro ci prova... |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 08 Nov 2009 10:08 Oggetto: |
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| Scrigno ha scritto: |
Sal ne ho fatto solo metà...
Non mi ricordo una cosa magri semplicissima...
| Citazione: | Nel primo caso abbiamo un sistema dove:
Q= l^2 (lato al quadrato = area del quadrato)
Q=4l (4 volte il lato = perimetro del quadrato)
Quindi abbiamo:
l^2 = 4l
4= l^2 / l
Ed essendo l^2 = l * l
avremo l*l/l = 4 -> l=4 (lato del nostro quadrato)
Da quì:
Q(area) = 4^2 = 16 unità quadrate
Q(perimetro) = 4 * 4 = 16 unità
Per quanto riguarda il secondo quesito avremo sempre un sistemino dove:
R= a * b (Area = base * altezza)
R= 2(a+b) (perimetro = 2 volte la somma tra base ed altezza)
Dal quale ricaviamo l' equazione:
ab = 2(a+b)
[Non so risolverla ] |
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Di fatti mi dimenticavo che esiste anche il processo di raccoglimento 
allora procediamo in questo modo:
| Citazione: |
ab = 2(a+b)
ab = 2a + 2b [risoluzione della parentesi tonda a destra]
ab -2a = 2b [spostamento dal 2° al primo membro della variabile a]
a (b-2) = 2b [raccoglimento al primo membro della variabile a]
a= 2b / (b-2)
Il dominio dell' equazione è tutto R traane che b-2 = 0 -> b = 2
Considerando che il perimetro e l' area di un rettangolo sono numeri positivi credo si debba imporre che il risultato e quindi il dominio si aristretto ai soli numeri naturali. quindi che non solo b <> 2 ma piuttosto che b > 2
da qui risulta che il primo naturale utile è il successivo di 2 :
2+1 = 3 il successivo di 3 è 3+1.... il successivo di n è n+1
per b = 3 -> a= 6/1 = 6 [il primo della lista è anche (fortunatamente naturale)]
per b = 4 -> a= 8/2 = 4 [Guarda caso un quadrato è anche un rettangolo  ]
per b = 5 -> a= 10/3
per b = n -> a= 2n / (n-2)
perciò abbiamo:
Q= 16
R= ab = 6*3 = 2(a+b) = 2(6+3) = 18
Quindi la media:
(Q+R)/2 = (16+18 )/2= 17
Il numero fortunato è 17 |
Se tutto quello detto sopra è giusto ci sarebbe una cosa che mi piacerebbe mi spiegaste:
| Citazione: |
il procedimento che mi porta al risultato:
a = 2b/(b-2)
lo si può usare anche per b che porta allo stesso risultato:
b= 2a/(a-2)
poi:
se si sostituisce una di queste due appena scritte nell' equazione:
ab = 2(a+b)
il risultato finale è, nel caso della sostituzione della b:
2a^2 - 2a^2 = 4a - 4a
0=0
Magari stò dimenticando qualche altra nozione di base però mi chiedevo il significato di un risultato del genere.
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 08 Nov 2009 13:33 Oggetto: |
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@ Scrigno:
per cui è assodato: il numero “fortunato” è proprio quello!
Per sveltire le cose, però, io avrei fatto così:
| Citazione: | da ab=2a+2b ottengo a*(b-2)=2b, vale a dire a=2b/(b-2)
in quest’ultima espressione, relativamente al rapporto a destra, aggiungo e sottraggo al numeratore 4.
Per cui a =(2b-4)/(b-2)+4/(b-2)=2 + 4/(b-2), che è più agevole da trattare.
Infatti ridiciamo il nostro range di esame per b nei soli interi da 1 a 6, ché fosse 7 (o maggiore di 7) avremmo che 4/(b-2) sarebbe minore di 1, cosa che non va d’accordo con la nostra ipotesi di lati interi.
Ora, 1 lo escludiamo, ché b sarebbe negativo, 2, ovviamente, pure, 5 dà un non intero, con il 4 ricadiamo nel caso del quadrato.
Restano 3 e 6, che vanno bene e sono fa loro “scambiabili”…
Per cui 16 è l’area/perimetro del quadrato, 18 quella del rettangolo, 17 la loro media che è anche il numero che li separa…
P.S.: proprio per questa caratteristica di separare i due quadrilateri “perfetti” il 17 era aborrito dai pitagorici, che lo ritenevano, pertanto, un numero tremendamente nefasto. |
P.S.: per l’altra problematica, cioè 0=0, credo non si sia nulla di strano, anzi, mi sarei meravigliato del contrario! |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 13 Nov 2009 07:45 Oggetto: |
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Quasi perfetto.. non ci avevo pensato a trovare una dimostrazione per il solo range di interi...
Grande Sal |
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