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Salmastro
Dio minore
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Residenza: Casalmico
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 Inviato: 09 Dic 2009 16:02 Oggetto: Il libro |
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Un libro ha 225 pagine.
La somma delle cifre delle prime due pagine del secondo capitolo è uguale a 18.
La somma delle cifre delle due ultime pagine del secondo capitolo è uguale a 18.
Quanto è lungo il secondo capitolo? |
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uomodeighiacci
Dio minore
Registrato: 01/01/09 19:29
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| Inviato: 09 Dic 2009 22:10 Oggetto: |
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| Citazione: | premetto che non ci sono arrivato tramite calcoli ma solo raginando su quali cifre dessero somma 18 (quindi non so neanche se è l'unica soluzione)
inizio: 49 50
fine: 139 140
pagine sec capitolo: 90 |
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Sir Jo
Mortale pio
Registrato: 24/11/09 18:16
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Residenza: Napoli
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| Inviato: 09 Dic 2009 22:28 Oggetto: Re: Il libro |
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| salmastro ha scritto: | Un libro ha 225 pagine.
La somma delle cifre delle prime due pagine del secondo capitolo è uguale a 18.
La somma delle cifre delle due ultime pagine del secondo capitolo è uguale a 18.
Quanto è lungo il secondo capitolo? |
| Citazione: | prime 2 pagine del secondo capitolo=49 e 50 ( somma delle cifre=18 ); ultime 2 pagine del secondo capitolo=139 e 140 ( somma delle cifre=18 ); lunghezza del secondo capitolo 92 pagine
PS la soluzione è univoca |
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Sir Jo
Mortale pio
Registrato: 24/11/09 18:16
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Residenza: Napoli
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| Inviato: 10 Dic 2009 20:51 Oggetto: |
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| ...e se 18 fosse invece il prodotto delle cifre delle prime 2 pagine nonchè il prodotto delle ultime 2 (del secondo capitolo)? |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 10 Dic 2009 21:02 Oggetto: SECONDO LOGICA |
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| Citazione: | #1- I due numeri in questione sono successivi [n e n+1 Oppure n e n-1]
#2- La somma delle cifre dei due numeri è 18
#3 - Per la (2) Quindi, la somma dei due numeri è divisibile per 3
#4 - Se la somma di due numeri è divisibile per un dato numero allora:
#4a - O tutti e due i numeri sono divisibili per quel numero.
#4b - Oppure nessuno dei due lo è.
#5 - per la (1) la soluzione (4) deve essere per forza la (b)
ERGO:
Due nemeri consecutivi NON divisibili per 3 (dalla lista crivelliamo tutti multipli di 3)
POI:
#1 - I due numeri in questione sono successivi [n e n+1 Oppure n e n-1]
#2 - La somma delle cifre dei due numeri è 18
#3 - somma di cifre di numeri consecutivi danno numeri dispari Sempre salvo nel caso:
#3a - uno dei due numeri termini per zero
#4 - Per la (1) e la (2) avremo (3a)
ERGO:
la nostra coppia di numeri sarà formata da un numero che termina per 0 ed il suo successore oppure il suo predecessore:
[10n+1 Oppure 10n-1] (salvo dove ci sia un multiplo di 3)
Esempio 10 e 9; 19 e 20 (MA NON 20 e 21 oppure 30 e 31)
Gia ora lista di possibili coppie si è ridotta a 15 mi sembra...
10-11; 19-20; 40-41; 49-50; 70-71; 79-80; 100-101; 109-110; 130-131; 139-140; 160-161;169-170; 190-191; 199-200; 220-221
LA si può ridurre ancora però:
Si può notare gia da questa lista che la decina con il successore da sempre un dispari mentre la decina con il predecessore d asempre un pri salvo nel caso che i "9" terminali siano pari.
Da ciò possiamo prendere in esame solo le 6 coppie:
19-20 (12)
49-50 (18 )
79-80 (24)
109-110 (12)
139-140 (18 )
169-170 (24)
Tra parentesi la somma delle cifre. A noi interessano le coppie {49;50}{139;140}
Purtroppo non sono riuscito a trovare una f(nx) tale che restituisca Xesimo numero N dove la somma delle cifre è pari a n MA credo ci debba essere in quanto c'è uno schema PRECISO nel succedersi delle somme delle cifre per ogni N |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 10 Dic 2009 21:12 Oggetto: |
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| Sir Jo ha scritto: | | ...e se 18 fosse invece il prodotto delle cifre delle prime 2 pagine nonchè il prodotto delle ultime 2 (del secondo capitolo)? |
| Citazione: | I divisori di 18 sono:
{2;3;3}{1;18}
due pagine consecutive... muble muble...
... ho bisogno di due "3" ed in un solo "2"... muble muble ...
31 e 32
131 e 132 |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 11 Dic 2009 12:34 Oggetto: |
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bravi tutti 
per cui, a uomodeighiacci, Sir Jo e Scrigno 
e  a Scrigno per aver postato il "ragionamento
P.S.: mi piacerebbe leggere quello di uomodeighiacci e di Sir Jo 
PP.S.: interessante la variazione sul tema proposta da Sir Jo, ma vedo che il solito Scrigno dovrebbe averla di già scardinata!  |
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uomodeighiacci
Dio minore
Registrato: 01/01/09 19:29
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| Inviato: 11 Dic 2009 17:59 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | | P.S.: mi piacerebbe leggere quello di uomodeighiacci e di Sir Jo |
| Citazione: | | il mio ragionamento è stato del tipo: 18 è pari ma le pagine consecutive sono una dispari ed una pari per cui, per far quadrare i conti, deve esserci uno 0. Da questo a capire che i numeri erano 49 e 50 non c'è voluto molto. Per la fine capitolo mi servivano 2 numeri con le stesse caratteristiche per cui ho solo scomposto 49, 4+9, 1+3+9, 139, idem per il 50. |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 11 Dic 2009 19:15 Oggetto: |
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ed io che speravo che tu (Salmastro) te ne uscissi con una bella formula per trovare la somma delle cifre di un qualsiasi numero dato... Uff
Ma vuoi che non esista?
Dobbiamo trovarla. |
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Sir Jo
Mortale pio
Registrato: 24/11/09 18:16
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Residenza: Napoli
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| Inviato: 12 Dic 2009 17:31 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: |
P.S.: mi piacerebbe leggere quello di uomodeighiacci e di Sir Jo
PP.S.: interessante la variazione sul tema proposta da Sir Jo, ma vedo che il solito Scrigno dovrebbe averla di già scardinata! |
| Citazione: | | Certo, assolutamente scardinata; per quanto riguarda il mio ragionamento, esso è quasi sulla stessa lunghezza d'onda di quello di uomo dei ghiacci; 18 è pari, 2 numeri consecutivi sono 1 dispari e 1 pari, quindi di tutte le cifre sappiamo che 1 è dispari e 1 è pari; ora per ottenere 18, che è pari, occorrono 1 altra cifra dispari e 1 altra pari, per cui il numero dispari deve cominciare con cifra pari mentre quello pari deve cominciare con cifra dispari, il che significa che i 2 numeri pur essendo consecutivi, appartengono a decine diverse, ecc..... |
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Roberto1960
Dio maturo
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| Inviato: 13 Dic 2009 15:27 Oggetto: |
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| Scrigno ha scritto: |
ed io che speravo che tu (Salmastro) te ne uscissi con una bella formula per trovare la somma delle cifre di un qualsiasi numero dato... Uff
Ma vuoi che non esista?
Dobbiamo trovarla. |
salmastro sarà impegnatissimo a scovare nuovi enigmi (ma dove cavolo li trova?).
Comunque posso risponderti io: certo che esiste!
E se applichi questa formula riesci a risolvere il problema dato per via algebrica e non per tentativi.
E non solo: si riesce anche a dimostrare che la soluzione è univoca!
La chiave è ricordarsi che le cifre di qualsiasi numero hanno un valore posizionale legato alla base 10 del nostro sistema di numerazione.
Ad esempio: 345 = 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.
Quindi un numero N di tre cifre si può sempre scomporre nelle sue tre cifre in questo modo:
N = a x 100 + b x 10 + c x 1,
in modo tale che la somma delle sue cifre sia esprimibile algebricamente con a+b+c.
Ovviamente dobbiamo ricordarci che a,b,c sono cifre quindi comprese tra 0 e 9.
La soluzione del problema posto quindi si trova inquesto modo:
| Citazione: | Sia P la prima pagina del secondo capitolo:
(1) P = a x 100 + b x 10 + c x 1
(con a compreso tra 0 e 2, b e c compresi tra 0 e 9)
Per la pagina successiva abbiamo diverse possibilità. Il caso più ovvio è il seguente:
(2a) P + 1 = a x 100 + b x 10 + (c + 1) x 1
Tuttavia nel caso c=9 la scomposizione si scrive in quest'altro modo:
(2b) P + 1 = a x 100 + (b + 1) x 10 + 0 x 1
C'è anche un altro caso possibile, che è b=c=9 che ci dà l'ultima possibilità:
(2c) P + 1 = (a + 1) x 100 + 0 x 10 + 0 x 1
Adesso siamo pronti a calcolare e non "tentare" la somma delle cifre di due pagine consecutive P e (P+1), nei tre casi visti sopra:
(3a) SOMMA = a + b + c + a + b + c + 1 = 2(a + b + c) + 1
(3b) SOMMA = a + b + 9 + a + b + 1 + 0 = 2(a + b) + 10
(3c) SOMMA = a + 9 + 9 + a + 1 + 0 + 0 = 2a + 19
Il fatto che SOMMA=18 rende chiaramente assurde le soluzioni 3a (perché il secondo membro è un numero dispari, e questa è quindi la formulazione matematica della intuizione di Sir Jo e uomodeighiacci) e 3c (perché fornisce un valore negativo per a).
Resta solo la soluzione 3b che si può riscrivere:
a + b = 4, c = 9 (l'ipotesi di partenza della soluzione b)
Siccome a può essere solo 0,1,2 abbiamo tre possibili soluzioni:
a = 0, b = 4, c= 9
a = 1, b = 3, c= 9
a = 2, b = 2, c= 9
delle quali la terza è esclusa dal testo del problema (le pagine sono 225).
Quindi restano, uniche, le due soluzioni già trovate 49 e 139.
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E' buffo che la risposta vera è propria alla domanda del testo "quanto è lungo il secondo capitolo?" non l'ha ancora scritta nessuno in maniera corretta: 91 pagine! |
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 13 Dic 2009 16:38 Oggetto: |
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| Roberto1960 ha scritto: |
E' buffo che la risposta vera è propria alla domanda del testo "quanto è lungo il secondo capitolo?" non l'ha ancora scritta nessuno in maniera corretta: 91 pagine! |
Si. è buffo che in questo forum, come in un buon discorso da bar, ^_^ si perdano pezzi di discorso per trovarne altri...
Comunque sia le pagine del secondo capitolo non sono quelle che dici tu ed eccoti la spiegazione:
| Citazione: |
il tuo 91 lo hai trovato prendendo l' ultima pagina trovata e sottraendolo alla prima --> 140-49 = 91
Ma la 49sima pagina è parte del secondo capitolo e quindi non puoi sottrarglela. quindi il numero delle pagine è:
l' ultima - la prima + 1 = 92
Allo stesso modo un esempio per rendere più chiara la cosa:
Abbiamo un libro di 10 pagine COMPLESSIVE.
pag 1 = copertina
pag 2 = retro copertina
pag 9 e 10 retro del libro
pag da 3 a 8 = primo ed unico capitolo
Il capitolo unico quindi comprende le pagine:
{3, 4, 5, 6, 7, 8} e se le contiamo sono 6 face3ndo come hai fatto tu viene fuori 8-3= 5 invece di 8-3+1= 6
La soluzione di cui parlavo io comunque, e credo ci sia, non deve tener conto di numeri di cifre e quindi scomposizione ma semplicemente attraverso una formula (pseudo semplice) deve darmi come risultato la somma delle sue cifre...
diciamo, con una sola variabile ... quella del numero in esame |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 13 Dic 2009 18:07 Oggetto: |
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beh, sì, sul "numero" di pagine ha ragione Scrigno: sono quelle che dice lui e prima di lui Sir Jo in uno dei primi post di pag. 1
non credo, però, che si possa fare di più di quello che dice Roberto a livello di algoritmo risolutivo "generale": l'unica strada percorribile è, in fondo, quella delle posizione delle cifre, così comoda nel nostra notazione decimale!...ma che non sempre è in grado di darci soluzioni univoche, ma spesso sì: per esempio...
se il libro invece di 225 pagine ne avesse avuto 255 ? |
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Roberto1960
Dio maturo
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| Inviato: 13 Dic 2009 22:56 Oggetto: |
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| Scrigno ha scritto: |
Comunque sia le pagine del secondo capitolo non sono quelle che dici tu
...
ultima - prima + 1
...
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Hai perfettamente ragione, la formula giusta è proprio ultima - prima +1, ed è proprio quella che ho utilizzato io, solo che ci ho messo dentro 139 invece che 140!
Un lapsus, chiedo venia. 
| Scrigno ha scritto: | ...La soluzione di cui parlavo io comunque, e credo ci sia, non deve tener conto di numeri di cifre e quindi scomposizione ma semplicemente attraverso una formula (pseudo semplice) deve darmi come risultato la somma delle sue cifre...
diciamo, con una sola variabile ... quella del numero in esame |
Adesso ho capito cosa intendevi. Vorresti una funzione S(x) che in funzione del solo numero x ti dia la somma delle sue cifre componenti, se non ho capito male, giusto?
La cosa non è impossibile, in fin dei conti le cifre che compongono un numero si ottengono prendendo il resto della divisione del numero dato per la base 10 e via via iterando.
Solo che questa formula mi pare tutt'altro che semplice e temo che sia anche tutt'altro che utile per risolvere problemi come questo...
| salmastro ha scritto: | se il libro invece di 225 pagine ne avesse avuto 255?
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In questo caso anche la terza soluzione che avevo trovato, 229, sarebbe stata ammissibile e, appunto come dici tu, avremmo perso l'univocità della soluzione del problema proposto. |
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 13 Dic 2009 23:19 Oggetto: |
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@ Roberto
Bravo roberto hai proprio centrato cio che cercavo di dire...
Sono convinto che esista una S(x) = Somma_delle_cifre_di_x e sono anche convinto che il 9 ed il 10 siano siano elementi essenziali di questa funzione; se non tutti e due almeno uno di loro. E scommetterei anche che non è poi tanto complicata. Anzi, credo che alla fine sarà qualcosa di elegante.
Magari con dei moduli ...
... Sto facendo una cosa che di matematico non ha molto, l' intuito, che tante volte ha aiutato l' uomo e tante altre lo ha portato al baratro  |
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Roberto1960
Dio maturo
Registrato: 21/01/08 00:39
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| Inviato: 13 Dic 2009 23:49 Oggetto: |
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| Scrigno ha scritto: | @ Roberto
Bravo roberto hai proprio centrato cio che cercavo di dire...
Sono convinto che esista una S(x) = Somma_delle_cifre_di_x e sono anche convinto che il 9 ed il 10 siano siano elementi essenziali di questa funzione; se non tutti e due almeno uno di loro. E scommetterei anche che non è poi tanto complicata. Anzi, credo che alla fine sarà qualcosa di elegante.
Magari con dei moduli ...
... Sto facendo una cosa che di matematico non ha molto, l' intuito, che tante volte ha aiutato l' uomo e tante altre lo ha portato al baratro |
Uhmm, mi sa che ti sei preso proprio una brutta gatta da pelare...
Io resto convinto che è una cosa decisamente complicata.
Ma sarei felicissimo di dover ammettere di essermi sbagliato! |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 13 Dic 2009 23:57 Oggetto: |
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| Roberto1960 ha scritto: |
| salmastro ha scritto: | se il libro invece di 225 pagine ne avesse avuto 255?
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In questo caso anche la terza soluzione che avevo trovato, 229, sarebbe stata ammissibile e, appunto come dici tu, avremmo perso l'univocità della soluzione del problema proposto. |
...ponendo dei limiti alla lunghezza dei capitoli (chessò: non più lunghi di mezzo libro), forse no
@ Scrigno:
la formula per trovare la somme delle cifre di un numero è quella suggerita da Roberto e non credo si possa fare di più: la somma dei resti successivi della divisione per 10 del numero dato, usando ogni volta il "quoto".
tale metodo, per inciso, coincide anche con quello per scrivere un numero "base 10" in un'altra qualsiasi base |
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