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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 17:24
Messaggi: 235
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 Inviato: 24 Mar 2009 23:30 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: |
si potrebbe dimostrare anche per più di due numeri, ma, onestamente, ancora non l'ho fatto... |
media aritmetica = 1/n * S[x=1,n]Xn
media armonica = n / S[x=1,n] 1/Xn
1/n * S[x=1,n]Xn > n / S[x=1,n] 1/Xn
S[x=1,n] 1/Xn * S[x=1,n]Xn > n^2
supponendo che la serie sia ordinata (ma se non lo è fa lo stesso dato che cambiando l'ordine degli addendi...)
(1/X1+1/Xn)*n/2 * (X1+Xn)*n/2 > n^2
(1/X1+1/Xn) * (X1+Xn) > 4
( 1 + Xn/X1 + X1/Xn + 1) > 4
Xn/X1 + X1/Xn > 2
(Xn^2+X1^2)/(X1*Xn) > 2
Xn^2 + X1^2 > 2*X1*Xn
la somma dei quadrati è maggiore del doppio prodotto se i termini sono diversi (uguale se sono uguali), poichè abbiamo ordinato la serie la media aritmetica è sempre maggiore di quella armonica a meno che non siano tutti numeri uguali, in tal caso entrambe le medie coinciderebbero con il numero stesso ovviamente |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 20:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 25 Mar 2009 21:42 Oggetto: |
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@Massive
ciao! 
per quanto riguarda la dimostrazione di cui al post precedente, ho la sensazione che funzioni solo se gli "Xi" costituiscono una progressione aritmetica 
da parte mia, da te istigato, sto lavorando su una dimostrazione per induzione, ma per ora...  |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 20:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 26 Mar 2009 21:22 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | | da parte mia, sto lavorando su una dimostrazione per induzione, ma per ora... |
beh, confesso che ho deciso di rinunciare
d'altra parte ho scoperto, girellando sul web, che una dimostrazione esiste, ma che coinvolge anche la media cosiddetta "geometrica" (che consiste nella radice N-sima del prodotto di N numeri reali strettamente maggiori di zero)
giusto per parlarne, pare che sia necessario prima dimostrare che, dati i suddetti N numeri, la media geometrica (G) è minore (o al più uguale, se i numeri sono uguali fra loro) della media aritmetica (A)... ma il procedimento è assai laborioso, in verità!
fatto questo si dimostra che la media armonica (H) è minore/uguale a quella geometrica, da cui:
H <= G <= A, che è il risultato cui si voleva arrivare
chi volesse approfondire, può leggere questo articolo
| Citazione: | | La diseguaglianza tra medie da cui abbiamo preso le mosse si inquadra, in buona sostanza, nei problemi di massimo e di minimo trattati senza l?uso delle derivate. In proposito rimandiamo al volume di Courant-Robbins e alla nota di A. Padoa nel secondo dei due volumi a cura di F. Enriques |
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