Olimpo Informatico

[Emmett Brown]

Comincio bene, con una piccola premessa fuori tema, messa qui apposta per non disturbare nel thread giusto?

Caro Ulisse,

Ti ringrazio per averci implicitamente ed esplicitamente avvertiti, nel tuo ottimo articolo sul 'fenomeno ICAP', di quali gravi rischi si corrano sporgendosi troppo all?imboccatura dello scivoloso imbuto che precipita nell?inquietante e claustrofobico tunnel da cui è impossibile uscire, se non arrivando in fondo?.
Avevo già questa vaga sensazione di incombente pericolo e sono ora, con il tuo autorevole avallo, più che mai convinto dell?opportunità di restare alla larga da certi tenebrosi percorsi. Ho un cervello solo, non è un gran che e perciò mi serve tutto; preferisco frequentare gli spazi aperti a tutto vantaggio anche degli altri organi del mio corpicino.
Inoltre - apprendo grazie a te - l?autore del gioco si diverte a cambiare qualche passaggio a gioco in corso; ciò per mia fortuna mi disamora del tutto alla sfida e mi toglie ogni rimpianto? Abbiamo già, in altri campi, illustri esempi di giocatori che cambiano le regole del gioco a partita in corso: la sola similitudine mi repelle un po'...

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Bene: vengo al sodo. Forse adesso, grazie a questo meraviglioso Forum, riuscirò a comprendere il significato di un testo che, letto anni fa quando ancora non digitavo su questo elettrodomestico, mi ha turbato nel profondo come a suo tempo la visione di certe Piazze surreali di De Chirico.

Leggevo anni fa una rivista settimanale di un giornale, non ricordo quale; leggevo un articolo in cui si raccontava di un certo tipo di studi matematici in un certo posto. In chiusura di articolo l?intervistato, per esemplificare divulgativamente al giornalista e ai lettori quali fossero gli oggetti delle loro ricerche, citava una sorta di giochino. Un giochino che chiunque può immaginare o fare con tre pezzi di carta.
A suo tempo copiai con matita e carta la parte di articolo, con cura meticolosa, la lessi e la rilessi e non ci dormii. Poi trascrissi la paginetta nel computer e la tramandai fino a data odierna attraverso innumerevoli formattazioni di disco fisso e cambi di macchina, aspettando il momento di sottoporla a un appassionato docente matematico tanto bravo da essere capace di farla capire persino a me, che mi fregio della licenza media conseguita in occasione dell?esame di riparazione in matematica.
Bella sfida eh?


copioincollo:

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Tre carte coperte, una è segnata. Qual? è? Lei ne indica una a caso. Io, allora, scopro una delle tre carte. (Nota mia: presumo qui si debba intendere 'una delle carte non da lei indicata'). E? pulita, senza segni.
Adesso le chiedo: ?Quale delle due rimaste coperte è segnata??.
Metà della gente, dicono le nostre ricerche, cambia la carta su cui puntare. L?altra metà mantiene la decisione presa all?inizio. Ma nessuno sa spiegare perché.
Tutti dicono che tanto le probabilità di prenderci rimangono identiche: una su due. Invece è sbagliato.
Perché: quando io ho girato una delle tre carte e l?ho trovata pulita, ho scombinato tutto; così la carta scelta da lei, che prima aveva una probabilità su tre di essere segnata, adesso ne ha due su tre di essere pulita.
E? l?altra che ha più probabilità di essere quella segnata; per puntare in modo sensato, lei deve cambiare carta.
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Bene, Ulisse, vuoi gentilmente spiegarmi, e spiegarci, in modo che persino io possa comprendere... perché dovrei cambiare carta?

Grazie!

[ioSOLOio]

in pratica..come il gioco dei pacchi sulla rai

Aspetto la risposta tecnica ufficiale di Ulisse e poi dico una mia considerazione..

[SverX]

Emmett mi lasci perplesso... eppure mi ricordo ancora abbastanza bene la probabilità degli eventi dipendenti, ero stato rimandato...

comunque ci penso ancora e intanto attendo Ulisse anche io

[Emmett Brown]

[SverX]

terza media?

mai detto questo Era in terza superiore infatti...

[ulisse]

Ah, il famoso (famoso in calcolo delle probabilità) paradosso delle tre carte, noto anche come paradosso di Monty Hall, il conduttore televisivo che nel 1990 propose il gioco delle tre porte (dietro a una delle quali c'era in palio un'automobile) e che fece discutere di probabilità milioni di americani.

Esistono varie versioni: le tre carte, le tre buste, le tre porte, i tre cofanetti, i tre prigionieri...

Il paradosso si basa su un equivoco (come tutti i paradossi).
Infatti i paradossi non sono altro che affermazioni vere ma apparentemente in contrasto con il senso comune e tali rimangono sino a che non viene fatta luce evidenziando gli elementi, prima oscuri, che ne forniscono una spiegazione sensata.

Dunque cerchiamo di fare luce sulle tre carte.
Proviamo questo approccio.

Ho in mano tre carte delle quali una è segnata.

CASO A
Prima sbatto via una delle carte non segnate.
Poi ne scelgo a caso una tra le due rimanenti (una segnata e l'altra no), e la passo a voi.

E' più probabile che la carta segnata sia in mano mia o in mano vostra?
Tutti risponderete che la probabilità è la stessa cioè pari a 1/2 in entrambi i casi.
Corretto.

CASO B
Prima ne scelgo a caso una tra le tre e ve la consegno.
Poi ne sbatto via, tra le due carte in mio possesso, una non segnata (io avrò sempre in mano almeno una carta non segnata).

E' più probabile che la carta segnata sia in mano mia o in mano vostra?
E qui cominciano gli equivoci quindi torniamo indietro.

CASO B (alla moviola)
Prima ne scelgo a caso una tra le tre e ve la consegno.
E' più probabile che la carta segnata sia in mano mia o in mano vostra?
Ah, ora ci siamo. Tutti sanno rispondere: la probabilità che la carta segnata sia in mano vostra è di 1 su 3 cioè 1/3.
Ovvio. Ho scelto una carta tra tre.
Alla domanda "preferite tenere la vostra carta o fare cambio con le mie due?" nessuno risponderebbe "teniamo la nostra!".

L'equivoco sul quale si basa il paradosso nasce in questo momento:
se ora io sbatto via una carta non segnata non faccio altro che confondervi le idee fingendo di modificare una situazione che in realtà non si è modificata affatto!

La reazione migliore quando io vi dico "guardate, mi siete simpatici e vi voglio favorire; questa carta non è segnata, la butto via così ora giochiamo alla pari" dovrebbe essere "bella forza! lo sapevamo già che in mano avevi almeno una carta non segnata! quindi mostrandocela non ci hai detto nulla di nuovo. La carta in mano nostra era stata scelta tra tre e continua ad esserlo quindi noi continuiamo ad avere 1/3 di probabilità che sia quella buona. Quindi alla domanda "tenete o cambiate" noi rispondiamo "cambiamo!""

[ulisse]

[ioSOLOio]

beh, quelle sono si differenze oggettive ma che si potrebbero trascurare in un ragionamento matematico...[altrimenti occorrerebbe valutare l'entità del premio che oltre ad essere oggettiva -cioè la cifra in quanto tale- è anche soggettiva -cioè il peso che quella cifra ha per il giocatore del momento-]

la differenza sostanziale è -a rileggere il quesito delle carte- che nel gioco dei pacchi la controparte conosce la collocazione dei pacchi/premi per cui non c'è mai gioco alla pari...
la scelta iniziale fatta [ammesso di poter fare la scelta sugli n pacchi..in realtà il pacco è quello assegnato a se stessi per sorteggio, salvo facoltà di cambiarlo nel corso del gioco] di avere il premio bello è di 1/n..e tale sostanzialmente rimane anche procedendo con l'eliminazione dei pacchi...visto che appunto uno dei due giocatori gioca a carte scoperte...

[ulisse]

[ulisse]

[ulisse]

Grazie ad una osservazione di Emmett ho notato un piccolo "imbroglio".
La frase pronunciata dall'ipotetico conduttore del gioco:
"quando io ho girato una delle tre carte e l?ho trovata pulita, ho scombinato tutto; così la carta scelta da lei, che prima aveva una probabilità su tre di essere segnata, adesso ne ha due su tre di essere pulita"[/quote]
non contiene solo il trabocchetto già sbugiardato (non esiste un prima e un adesso perchè in mezzo non è successo nulla di nuovo) ma contiene anche un'acrobazia dialettica sulla quale la sopravvivenza dell'equivoco si basa:
"la carta scelta da lei, che prima aveva una probabilità su tre di essere segnata, adesso ne ha due su tre di essere pulita."
Leggiamo bene la frase in grassetto e riflettiamo: ci sono tre carte delle quali una sola segnata. Scegliendo una caso questa avrà una probabilità su tre di essere quella segnata e contemporaneamente due su tre di non esserlo!
Oltre ad essere fuorviante parlare di prima e di adesso per i motivi già detti è anche ridondante aggiungere che ha due probabilità su tre di non essere segnata in quanto i due eventi A="la carta è segnata" e B="la carta non è segnata" sono complementari e conseguentemente lo sono anche le relative probabilità: P(A)=1-P(B).

Quindi il conduttore ha affermato che qualcosa è cambiato e per sostenere la sua ipotesi ha subdolamente dichiarato le due probabilità come se fossero diverse quando in realtà non lo sono.

Parafrasando:

"Io so praticare la telecinesi e te lo dimostro. Lo vedi questo bicchiere colmo per un terzo di acqua? Ora lo svuoto un po' solo con la forza del pensiero. - passa qualche secondo senza che nessuno si muova e nulla accada - Ecco vedi? ci sono riuscito. Infatti prima il bicchiere era colmo per un terzo e adesso è vuoto per due terzi."

Mi sembra Berlusconi quando cerca di dimostrare che col suo governo i debiti dello Stato sono stati sanati!

Approfitto per vedere il problema da un'altra angolazione.

Il giocatore sceglie a caso la carta A, al conduttore restano la B e la C.

Ognuna ha probabilità 1/3 di essere quella segnata quindi il giocatore ha probabilità 1/3 di vincere e 2/3 di perdere.
Evidentemente scambiando ora la sua carta con le due in mano al conduttore tali probabilità si invertono.

Se il conduttore ne scopre una (quella certamente non segnata e sia essa la B) la carta A, essendo stata scelta tra tre, continua ad avere probabilità 1/3 di essere segnata e altrettanto dicasi per la probabilità di vittoria del giocatore che resta 1/3.
Ovviamente anche la probabilità che perda resta inalterata cioè pari a 2/3.
Ma poichè il conduttore ora ha una sola carta coperta (la C) quei 2/3 di probabilità sono distribuiti diversamente tra le carte B e C.
Ora la carta B ha probabilità 0 di essere segnata mentre per la carta C (l'unica rimasta in mano al conduttore) la probabilità è salita a 2/3.

Mi viene in mente questo esempio strampalato nel tentativo di convincere anche i più recidivi:

Ci sono 11 highlander. 10 di un clan e 1 di un altro.
Come sapete gli hl assorbono l'energia del nemico ucciso diventando quindi di volta in volta sempre più potenti.

Tutti e 11 gli hl hanno la stessa energia.
Il capo del primo clan dice all'ultimo sopravvissuto del secondo clan: guarda, mi rendo conto che così sarebbe una lotta impari quindi zac! zac! zac!... e uccide i suoi nove compagni di clan. Ora siamo solo io e te e la lotta ora sarà ad armi pari.

Peccato che ammazzando i suoi compagni di clan ne abbia anche assorbito l'energia e quindi ora, da solo, è forte dieci volte tanto!

Chiaro il paragone?