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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 27 Gen 2006 15:07 Oggetto: |
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@Mari: giusto ma i nuovi clienti non sono "solo" n ma molti di più.
Il ragionamento comunque è corretto e estendibile al caso n -> /infty (enne che tende all'infinito).
@ tutti i nuovi: benvenuti!
@tpiccioli: se le stanze hanno tutte la medesima dimensione finita basta solo avere infiniti piani con ognuno un numero finito di stanze oppure un solo piano con infinite stanze.
Ma poichè abbiamo già rotto l'imene di "madama impossible" immaginando un albergo con infinite stanze, potremmo pure immaginare un albergo in cui una stanza è grande la metà della stanza precedente.
Avremmo così un bell'albergo compatto (cioè in cui l'insieme delle stanze è chiuso e limitato ma infinito) che occupa lo spazio di in un bilocale! |
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ernesto Comune mortale
Registrato: 26/01/06 10:21 Messaggi: 4
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Inviato: 27 Gen 2006 15:15 Oggetto: |
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Citazione: |
Vero ma l'infinito ha tante proprietà assai carine e interessanti.
Ad esempio un insieme infinito ha la curiosa proprietà di poter essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
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E non solo, anche con la sua n-esima potenza con n finito.
Ed in questo caso come si fara' mai a metterlo in corrispondenza ? 8) Citazione: |
Ma poichè abbiamo già rotto l'imene di "madama impossible" immaginando un albergo con infinite stanze, potremmo pure immaginare un albergo in cui una stanza è grande la metà della stanza precedente.
Avremmo così un bell'albergo compatto (cioè in cui l'insieme delle stanze è chiuso e limitato ma infinito) che occupa lo spazio di in un bilocale! |
Gradisce le belle serie infinite ? |
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tpiccioli Mortale devoto
Registrato: 26/01/06 16:20 Messaggi: 10
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Inviato: 27 Gen 2006 16:18 Oggetto: |
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ulisse ha scritto: | ...
Ad esempio un insieme infinito ha la curiosa proprietà di poter essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
... |
Beh... allora ci avevo praticamente azzeccato... |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 27 Gen 2006 17:31 Oggetto: |
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ernesto ha scritto: | E non solo, anche con la sua n-esima potenza con n finito.
Ed in questo caso come si fara' mai a metterlo in corrispondenza ? 8) |
Vero!
Se non erro, nello stesso modo in cui Cantor ha contato i razionali ma non ci metto la mano sul fuoco!
Citazione: | Gradisce le belle serie infinite ? |
Gradiamo, gradiamo...
Se hai qualche quesito interessante apri pure un nuovo topic!
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Emmett Brown Dio maturo
Registrato: 28/09/05 00:41 Messaggi: 1295
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Inviato: 27 Gen 2006 21:01 Oggetto: |
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ehm... Prof, ha dimenticato il mio voto! |
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 28 Gen 2006 00:40 Oggetto: |
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Emmett Brown ha scritto: | ehm... Prof, ha dimenticato il mio voto! |
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ah, non dicevi a me?
come, "zitta tu, ignorante"?
in effetti hai ragione, taccio !!!
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 28 Gen 2006 01:04 Oggetto: |
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scherzi a parte, provo a scioglierti qualche dubbio con quel poco che so.
tanto poi passa uli e ci schiaffa entrambi dietro alla lavagna con le orecchie d'asino.
Citazione: | in che senso si possa usare l'aggettivo 'tutte' in riferimento alle stanze di numero infinito |
prendiamo un segmento lungo un metro.
lo puoi dividere in dieci parti ottenendo i decimetri.
se dividi i decimetri ottieni i centimetri.
se dividi i centimetri ottieni i millimetri... e poi continuare a suddividere all'infinito, visto che al numero 0,1 puoi aggiungere tutti gli zeri che vuoi fra la virgola e l'uno. in definitiva, anche se non riesci a vedere fisicamente questi piccolissimi punti, capisci ad occhio che sono infiniti. se prendi TUTTI questi infiniti punti, ottieni il segmento.
in questo senso si usa il termine "tutte" per le stanze.
so che l'esempio del segmento non è matematicamente corretto (avrei dovuto prendere una retta), però credo renda bene l'idea.
Citazione: | Se mi dici 'tutte le infinite stanze' questa mi pare una contraddizione in termini, perchè allora dovrebbe essere sensata la mia domanda "ma tutte... quante?" e la risposta potrebbe essere solo 'infinite', che non risponde alla domanda 'quante?' |
altro esempio.
prendiamo l'insieme dei numeri pari 2 4 6 8 10 12 etc. naturalmente i numeri pari sono infiniti, anche se non posso MAI quantificarli in senso stretto.
prendiamo adesso l'insieme dei numeri dispari 1 3 5 7 9 11 etc. anche questi sono infiniti, non riesco a quantificarli materialmente ma ad occhio percepisco che sono esattamente tanti quanti i pari (direi corrispondenza biunivoca ma non vorrei incasinare ulteriormente la pseudospiegazione)
se infine prendiamo i numeri naturali, cioè tutti i numeri positivi senza virgole, o meglio i numeri pari più i numeri dispari (più lo zero), appare ovvio che anche questo insieme di numeri sia infinito. però questo infinito ad occhio sembra "più grande" sia dell'insieme dei numeri pari, sia di quello dei numeri dispari.
in questo senso, ci sono insiemi infiniti "più grandi" e "più piccoli".
sono ben conscia di aver omesso un sacco di cose ed essere stata imprecisa, ma spero di essere riuscita a farmi capire.
torno dietro alla lavagna, e preparo un saggio sull'importanza dello zero nella vita quotidiana, argomento ben più interessante, a mio avviso.
nb: la matematica è uno stumento per modellizzare la realtà, ma non la rappresenta perfettamente. è una specie di schizzo sul block notes di ciò che vediamo attorno...e non sempre trova un riscontro "fisico". |
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Jenga Semidio
Registrato: 26/04/05 14:20 Messaggi: 250 Residenza: Villa d'Ogna (BG)
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Inviato: 28 Gen 2006 14:36 Oggetto: |
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madvero ha scritto: |
prendiamo l'insieme dei numeri pari 2 4 6 8 10 12 etc. naturalmente i numeri pari sono infiniti, anche se non posso MAI quantificarli in senso stretto.
prendiamo adesso l'insieme dei numeri dispari 1 3 5 7 9 11 etc. anche questi sono infiniti, non riesco a quantificarli materialmente ma ad occhio percepisco che sono esattamente tanti quanti i pari (direi corrispondenza biunivoca ma non vorrei incasinare ulteriormente la pseudospiegazione)
se infine prendiamo i numeri naturali, cioè tutti i numeri positivi senza virgole, o meglio i numeri pari più i numeri dispari (più lo zero), appare ovvio che anche questo insieme di numeri sia infinito. però questo infinito ad occhio sembra "più grande" sia dell'insieme dei numeri pari, sia di quello dei numeri dispari.
in questo senso, ci sono insiemi infiniti "più grandi" e "più piccoli".
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in realtà mi sembra di ricordare che l'insieme dei numeri naturali SEMBRA un infinito più grande (se non ricordo male in termini matematici si parla di "ordini" di infinito) ma invece ha lo stesso "livello di infinitezza" dei numeri pari... o sbaglio?? |
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madvero Amministratore
Registrato: 05/07/05 20:42 Messaggi: 19480 Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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Inviato: 28 Gen 2006 16:37 Oggetto: |
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Jenga ha scritto: | in realtà mi sembra di ricordare che l'insieme dei numeri naturali SEMBRA un infinito più grande (se non ricordo male in termini matematici si parla di "ordini" di infinito) ma invece ha lo stesso "livello di infinitezza" dei numeri pari... o sbaglio?? |
credo che tu abbia ragione.
avevo premesso in partenza che stavo facendo degli esempi a capocchia, ovvero matematicamente scorretti, per rendere l'idea.
mi torna in mente la frase "può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio" ma ho lasciato la scuola da troppi anni per contestualizzare correttamente l'affermazione.
aspettiamo uli. |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 29 Gen 2006 16:03 Oggetto: |
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Ehm... Ehmmet...
non ti avevo dimenticato... ti avevo graziato!
Dunque... mi tocca parlare dell'infinito cioè di qualcosa che non esiste se non nella nostra mente...
Mi tocca parlare di qualcosa intorno alla quale hanno discusso per migliaia di anni i più importanti filosofi, scienziati e ciarlatani del mondo.
Vorrei evitare di finire anch'io tra i ciarlatani ma a domanda mi tocca rispondere.
Cercherò di dire il meno possibile con la scusa che esiste una considerevole bibliografia a riguardo ma in realtà meno dico e meno sciocchezze sparo!
Chi volesse approfondire i legami tra l'infinito matematico e quelli filosofico e religioso può ad esempio leggere "Il Vangelo secondo la Scienza" di Piergiorgio Odifreddi. Oppure "Zero" di Robert Kaplan.
E così taglio fuori ogni intervento sul formarsi del concetto di infinito nella nostra mente.
Matematicamente parlando, l'infinito è uno, nessuno, centomila.
Infatti in alcuni casi l'infinito non viene trattato come numero e quindi dai numeri viene escluso (l'infinito non appartiene all'insieme R dei numeri reali ma appartiene all'insieme esteso dei numeri reali - esteso, appunto, aggiundendo ad essi proprio l'infinito -)
Mentre in altri casi, quando si parla di cardinalità (numero di elementi) di un insieme, addirittura si deve distinguere tra infinito e infinito.
Ad esempio c'è un tipo di infinito che si chiama numerabile ovvero che può essere contato.
Serve la definizione di numerabile ovvero una spiegazione di cosa si intenda per "contare gli elementi di un insieme".
I matematici adorano formalizzare i concetti rendendo così di difficile comprensione ciò che prima ci sembrava chiaro e semplice.
Contare vuol dire poter prendere gli oggetti di un insieme, metterli in fila e iniziare a dire "uno, due, tre, quattro,...".
Un matematico invece direbbe "posso mettere gli oggetti in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali (o con un suo sottoinsieme finito)".
Numerabile vuol dire quindi che può essere contato.
Notare che nell'esempio di conteggio ho lasciato dei puntini di sospensione dopo il quattro.
Per i matematici poco importa se il conteggio avrà termine oppure no. L'importante è che l'insieme di oggetti da contare possa essere ordinato come le bricioline di Pollicino in modo che chi esegue il conteggio possa raccogliere una briciolina e dire contemporaneamente un numero che rappresenti tutte e sole le bricioline sinora raccolte senza lasciarne indietro nessuna.
L'insieme dei numeri naturali ad esempio gode di questa proprietà: per quanto infinito, i suoi elementi possono essere contati. L'insieme dei numeri naturali è infinito numerabile.
Anche l'insieme dei numeri razionali (le frazioni, tanto per intenderci) è numerabile. Grazie a un trucchetto escogitato da Cantor è stato infatti possibile mettere i razionali in corrispondenza biunivoca con i naturali (i razionali sono tanti quanti gli nteri!).
Ma esistono altre forme di infinito chiamato casualmente non numerabile.
I numeri reali, ad esempio, sono tanti, molti più dei naturali. Anch'essi infiniti, ma questa volta non possono essere contati.
Non esiste infatti alcun modo di ordinare i numeri reali per poterli contare: qualunque sia il primo numero che decidiamo di contare dicendo a gran voce "uno!" avremo l'amara scoperta che ne abbiamo già lasciati indietro troppi (tra due numeri reali ce ne sono sempre infiniti compresi).
Mi fermo qui perchè l'argomento infinito è infinitamente vasto.
Aggiungo solo una piccola curiosità.
Dato un insieme non vuoto è sempre possibile ottenere da esso dei sottoinsiemi ovvero degli insiemi più piccoli costituiti solo da una parte dell'insieme di partenza.
L'insieme di tali sottoinsiemi si chiama insieme delle parti.
Quanti elementi ha l'insieme delle parti di un insieme finito?
E quanti elementi ha l'insieme delle parti di un insieme infinito numerabile?
Forse proprio un'infinità non numerabile?
Restate con noi e lo scoprirete nella prossima puntata di "Macheccefrega?" |
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Jenga Semidio
Registrato: 26/04/05 14:20 Messaggi: 250 Residenza: Villa d'Ogna (BG)
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Inviato: 31 Gen 2006 10:45 Oggetto: |
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ulisse ha scritto: |
Mi fermo qui perchè l'argomento infinito è infinitamente vasto.
Aggiungo solo una piccola curiosità.
Dato un insieme non vuoto è sempre possibile ottenere da esso dei sottoinsiemi ovvero degli insiemi più piccoli costituiti solo da una parte dell'insieme di partenza.
L'insieme di tali sottoinsiemi si chiama insieme delle parti.
Quanti elementi ha l'insieme delle parti di un insieme finito?
E quanti elementi ha l'insieme delle parti di un insieme infinito numerabile?
Forse proprio un'infinità non numerabile?
Restate con noi e lo scoprirete nella prossima puntata di "Macheccefrega?" |
Non vedo l'ora che "esca" la prossima puntata...
Che bella sta sezione del forum... |
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orangefield Mortale devoto
Registrato: 29/05/05 13:25 Messaggi: 16
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Inviato: 31 Gen 2006 11:02 Oggetto: |
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Anch'io non vedo l'ora!
E' proprio bello sentirsi così ignoranti e star bene lo stesso
E' stato un piacere, ne facciamo un'altra?
A presto,
orangefield |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 01 Feb 2006 21:54 Oggetto: |
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Jenga ha scritto: | Che bella sta sezione del forum... |
Grassie!
Spero di mantenerla all'altezza delle aspettative! |
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ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
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Inviato: 01 Feb 2006 22:13 Oggetto: |
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orangefield ha scritto: | Anch'io non vedo l'ora!
E' proprio bello sentirsi così ignoranti e star bene lo stesso |
Beato te!
Anch'io mi sento ignorante ma non riesco a stare bene perchè dovendo recitare la parte di colui che sa (in quanto prof) non mi sento mai a posto...
Perdonatemi se vi lascio sulle spine. Appena posso posto la soluzione.
Nel frattempo potete provarci voi!
Nel caso ho messo la domanda in un nuovo topic (due quiz nello stesso topic non ci stanno!) |
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