Olimpo Informatico

[Sofy]

Ciao a tutti!

è la prima volta che scrivo su questo sito e ho un problema..

Devo disegnare lo sviluppo della superficie laterale di un tronco di cono con base ellittica..

Qualcuno mi sa dire come si fa?

Grazie mille!!

[horus]

Benvenuto, ho modificato il tuo titolo per renderlo più leggibile, scrivere solo aiutooooooo non invoglia certo alla lettura.

Per il tuo problema purtroppo non posso aiutarti in quanto non ricordo praticamente nulla di disegno tecnico.

[Eugy]

[madvero]

da che disegno parti?
assonometria isometrica, monometrica o cavaliera?
oppure è il classico disegno con le proiezioni di fronte, dall'alto e di lato?

[Eugy]

[madvero]

hai ragione: capito un cavolo, come al solito.
la devo piantare di leggere due post al secondo, altrimenti continueranno a sfuggirmi particolari fondamentali (e direi che non è una cosa insolita).

[Benny]

[ulisse]

Allora... vediamo cosa ho partorito...
Qualcuno verifichi che non sia un aborto perché mi sono ricavato tutto di sana pianta (tranne l'eq. dell'ellisse in coordinate polari).

Innanzi tutto un po' di lettere.
Servirebbero due figure. Chissà che qualche anima folle non le produca...

La prima rappresenta il cono a base ellittica.
In tale cono chiamo:
h la sua altezza
a il semiasse minore dell'ellisse di base
b il semiasse maggiore dell'ellisse di base
rho il raggio dell'ellisse di base (e quindi avremo a<=rho<=b)
phi l'angolo che il raggio forma col semiasse maggiore.

L'ellisse di base, in coordinate polari, sarà dunque una funzione dell'angolo phi (la scrivo al quadrato perché così ci servirà dopo e ora mi risparmio una radice):

rho^2=[(ab)^2]/[(a sen phi)^2 + (b cos phi)^2]

Chiamiamo inoltre r la distanza tra un punto dell'ellisse di base e il vertice del cono (mi verrebbe da chiamarla apotema ma son certo sia sbagliato).

Col teorema di Pitagora si ricava r^2=h^2+rho^2
Poiché rho=rho(phi) avremo che anche r=r(phi).

Ora passiamo alla seconda figura: ci serve lo sviluppo della superficie laterale del cono.
L'obiettivo è disegnare tale sviluppo su un piano cartesiano facendo coincidere il vertice del cono con l'origine degli assi cartesiani.
Se riusciamo a scrivere l'equazione della linea costituita dallo sviluppo dell'ellisse di base del cono abbiamo raggiunto il risultato.

L'idea è quella di scrivere tale linea in coordinate polari perchè l'unico problema che abbiamo è sapere quanto vale r in ogni punto dell'ellisse.

Che risultato dobbiamo aspettarci?
Se il cono fosse quello classico, r sarebbe costante e lo sviluppo della circonferenza di base del cono sarebbe semplicemente l'arco di circonferenza sotteso da un angolo theta.
L'angolo theta si ricava facilmente: l'arco di circonferenza è lungo theta*r ma è anche lungo 2*pigreco*rho.
Uguagliando le due formule ricaviamo theta=2*pigreco*rho/r ovvero theta=2*pigreco*rho/radq(h^2+rho^2).

Nel caso in esame, l'ellisse di base si sviluppa in una linea che sarà comunque sottesa da un angolo theta e tale angolo, in prima approssimazione si calcola con la formula precedente in cui come rho prendiamo la media dei semiassi: (a+b)/2.

Ora siamo pronti.

Ricaviamo r=r(phi):

r=radq(h^2+[(ab)^2]/[(a sen phi)^2 + (b cos phi)^2])

Ma phi descrive l'ellisse e non il suo sviluppo.
Ci serve un nuovo angolo (chiamiamolo alpha) per descrivere lo sviluppo dell'ellisse.
Sappiamo che 0 <= alpha <= theta.
Anzi sappiamo che alpha : theta = phi : 2*pigrego
Quindi phi = 2*pigrego*alpha / theta = alpha*radq(1+(2h/a+b)^2).

Sostituendo phi=phi(alpha) in r=r(phi) ricaviamo la funzione r=r(alpha) cercata.

Buttata in un programma che plotta le funzioni (tipo Mathematica o Derive - io ho usato quest'ultimo) si ricava il grafico cercato.

Ecco un esempio del risultato con dati a, b, h a capocchia. Lo sviluppo è completo con un ottavo di angolo giro.




p.s.
Una curiosità: ma a che cappero ti serve 'sta roba?

[Eugy]

Per dire che lo sviluppo è una trapezio isoscele ho fatto una cappella mostruosa...

Cmq... Ulisse... a intuito la superficie laterale mi sa che non può avere lo sviluppo da te disegnato...

[Benny]

[madvero]

ma sofy che fine ha fatto?

[ulisse]

@ Mad: L'ipotesi più plausibile è che abbia risolto in altro modo il suo problema.
Oppure in perfetto stile Marcovaldo ha costruito un modello di cono a dimesione umana e quando si è trattato di incollare la superficie laterale è rimasta chiusa dentro...

@Benny: wow! grazie per la figura!

Confermo che quella che ho plottato è effettivamente r=r(alpha) dove (alpha,r) sono le coordinate polari e alpha è compreso tra 0 e theta.

Nel grafico di esempio theta=pigreco/8 quindi la superficie laterale del cono ellittico si ottiene ritagliando la figura come se fosse un centrotavola e prendendo poi da essa solo un settore pari a un ottavo di angolo giro.

La procedura è la stessa che si dovrebbe usare nel caso del cono tradizionale.

Per verificare che effettivamente non ho sbagliato dovrei stampare l'immagine, ritagliare il centrotavola, prendere un settore, chiuderlo e vedere se assomiglia a un cono ellittico.

Non l'ho ancora fatto ma sono certo che la forma finale debba essere di quel tipo ovvero una linea che oscilla intorno ad una circonferenza.
Di più: come suggerisce Benny, considerando (alpha,r) come coordinate cartesiane la curva risultante è una sinusoide i cui punti di minimo si presentano in corrispondenza dell'asse minore dell'ellisse di base e quelli di massimo in corrispondenza dell'asse maggiore.
Per verificarlo basta:
derivare r=r(alpha)
risolvere r'(alpha)=0 e chiamare alphamin e alphamax le due soluzioni nell'intervallo (0,theta/2)
valutare se effettivamente rho(phi(alphamin))=a e rho(phi(alphamax))=b

[Eugy]

Io ho pensato in questo modo, solo che non mi viene facile andare avanti...

edit1:

Lavorando col cartoncino ... ho capito che per la circonferenza la cosa funziona perchè la curva che si ottiene lavorando come ho detto sopra è anch'essa una circonferenza, quindi è perfettamente simile a qualunque altra circonferenza, si possono rendere concentriche, e la simmetria è assoluta, quindi rende indifferente la scelta del punto ove "taglilare il <<pacman>> ".
E soprattutto c'è una corrispondenza biunivoca tra l'angolo e la lunghezza dell'arco...

L'ipotesi che faccio ora è di usare il parametro dell'angolo tra 0 e 2pi.greco per descrivere (muovermi lungo) l'ellissi di base per determinare la rotazione del mio segmento, ma che si debba usare un altro parametro (tipo la lunghezza dell'ellissi di base in funzione dell'angolo) per capire quando fermarmi nella generazione della nuova curva che rappresenta il modo cin cui l'ellissi di base si "apre" su un piano...

(contorto, eh.. )

Ora mi ci metto...

[Benny]

@Ulisse & Eugy: i vostri ragionamenti mi paiono abbastanza simili, e senza dubbio sono corretti.

Ma c'è qualcosa che mi manca, un passaggio che non riesco a definire...

Cerco di spiegarmi a parole coadiuvato da qualche disegnino:

Se "tagliamo" lungo due diverse linee, lungo l'apotema maggiore (OB) o quello minore (OA) (credo sia assurdo scegliere linee di taglio diverse da queste),
plottando la funzione r(theta) (o l(theta) secondo la denominazione di Eugy), mi immagino di ottenere due diverse figure:
La prima partendo da OB,


La seconda partendo da OA,


Sostanzialmente sono la stessa cosa, con punti di partenza diversi, e ricalcano il disegno plottato da Ulisse, quindi diciamo che mi sono ricreduto rispetto le mie prime affermazioni.
Ho scritto "mi immagino", poiché questi disegni sono fatti a sentimento, senza nessun tipo di conto.

Ora, siamo tutti d'accordo che la lunghezza del tratto ABCDA' (o BCDAB') deve essere uguale al (perimetro? circonferenza?) dell'ellisse.

Nel caso riportato da Ulisse, lui dice che lo sviluppo è completo per 1/8 di angolo giro, probabilmente perché ha voluto lui che fosse così (giusto?), ma questa non è una regola, ma uno dei vari casi.
Quindi, poiché si cerca una regola che vada bene per tutti i casi, bisognerebbe trovare in maniera univoca l'angolo theta.
Il passaggio che mi manca è proprio quello di trasformare l'angolo solido al vertice del cono, nel corrispondente sviluppo in un angolo piano.
Qualcuno sa come si fa?

[ulisse]

Secondo me ragionando in coordinate polari diventa tutto più semplice.
Il mio primo intervento, ho verificato, è corretto.
Provo comunque a "riallineare" i ragionamenti fatti e a evidenziare discrepanze, imprecisioni, omissioni e puntualizzazioni.

DISCREPANZE
I conti fatti da Eugy in coordinate cartesiane (con qualche rapido passaggio alle forme parametriche) sono gli stessi fatti da me in coordinate polari.

Il parametro che Eugy chiama t altro non è che l'angolo phi che descrive l'ellisse di base del cono sul piano XY.

Altra differenza già notata da Benny: Eugy chiama l il segmento che spazza la superficie laterale del cono mentre io l'ho chiamato r.

Benny invece chiama theta l'angolo che il segmento r forma con l'apotema (o con un qualunque r scelto come sezione di taglio per sviluppare la superficie laterale sul piano).
Io quell'angolo l'ho chiamato alpha riservandomi il nome theta per l'estremo destro di alpha.

IMPRECISIONI
Quando Eugy scrive la forma parametrica della linea corrispondente all'ellisse di base (nello sviluppo sul piano della superficie laterale) usa ancora il parametro t (il mio angolo phi) imponendo che questi sia limitato tra 0 e 2pi.greco. In realtà va usato un altro parametro (ad es. s ma io l'ho chiamato alpha) legato a t da una proporzione lineare (vedi mio primo intervento).

OMISSIONI
Da tale relazione lineare si vede che quando phi compie un angolo giro, alpha descrive l'angolo theta.
L'angolo theta è una costante del problema e dipende unicamente dal rapporto tra h e il raggio "medio" dell'ellisse di base.
Ho scritto medio tra virgolette perché, se non erro, non è la media aritmetica che ho usato io in prima approssimazione ma quella integrale.

PUNTUALIZZAZIONI
Abbiamo detto che il rapporto tra alpha e phi è lineare.
Ricordo che la relazione è:
phi = 2*pigrego*alpha / theta = alpha*radq(1+(2h/a+b)^2).

A seconda del valore assunto dal coefficiente di proporzionalità ovvero a seconda dei valori h, a, b assegnati avremo sostanzialmente tre casi.
Osserviamo che la curva r(alpha) è periodica e il periodo è dato proprio da quel coefficiente che qui chiamo k. Quindi:
k=n è intero (come nel mio esempio in cui valeva 8 )
allora la linea rappresentante il bordo dello sviluppo è una linea che si chiude su se stessa in un solo giro e dalla figura chiusa possiamo ricavare n sviluppi completi
k=p/q è razionale
allora la linea si chiude su sé stessa dopo q giri
k è irrazionale
allora la linea non si chiude mai
In entrambi questi ultimi due casi (k razionale e irrazionale) da un settore corrispondente a un angolo giro potremo ricavare INT(2pigreco/theta) superfici laterali complete.

L'esempio che ho plottato io aveva il valore di k preso a casaccio ma intero ed ecco perchè la mia figura è chiusa.

[Eugy]

Io l'andamento sinusoidale non lo "visualizzo": secondo me otteniamo una figura completamente convessa.

In corrispondenza del punto A con OA semiasse maggiore avremo anche l'apotema maggiore, di qui ogni punto della curva dista sempre meno dal centro, fino a raggiungere la distanza pari all'apotema ZB, con Z vertice del cono e OB semiasse minore dell'ellissi di base.

Qui confermo la mia precedente imprecisione, ovvero non aver introdotto il rapporto di proporzionalità tra i due angoli.

Dato che deve esserci una corrispondenza biunivoca tra i punti della curva dello sviluppo ed i punti dell'ellissi di base io immagino che il rapporto tra l'angolo t (che nella mia equazione parametrica, andando da 0 a 2 pi; descrive l'ellissi di base) e l'angolo t' individuato dal punto che sto "Plottando", e che è l'angolo che descrive la curva dello sviluppo, debba in qualche modo essere in relazione col rapporto tra la lunghezza dell'ellissi di base e la lunghezza della curva (teorica) dello sviluppo.

Costituendone quindi una sorta di correzione retroazionata.

Mi spiego: nel caso della circonferenza, l'apotema è costante ed indipendente dall'angolo, quindi disegnare tutto il cerchio di sviluppo e poi prenderne solo una parte (esattamente la parte lunga quanto la circonferenza di base di partenza) funziona.

Nel caso dell'ellissi invece no, perchè l'apotema DIPENDE dall'angolo e la curva di sviluppo dipende pure lei dall'angolo.

Secondo me... e a fare i conti c'è da ridere (integrali ellittici), prima si calcola quanto viene lunga la curva di sviluppo parametrizzata nel mio precedente post, poi si fa il rapporto tra la lunghezza dell'ellissi di base e questa lunghezza: poniamo k questo rapporto.

E poi si ridisegna la curva di sviluppo, sempre per t che va da 0 a 2pi, ma scrivendo parametrizzando in questo modo:
x=l(t) cos (kt)
y=l(t) sin (kt)

Grosso modo funziona, perchè per t=0 ho la lunghezza giusta dell'apotema, ma poi, essendo k<1, "finirò" la curva prima di aver fatto un giro completo.

In buona sostanza, ipotizzando che il rapporto in questione sia 0,8, tanto per dare una cifra, ecco cosa suppongo che debba essere lo sviluppo laterale del CONO:



Secondo me questa figura, se ritagliata, si richiude in un cono ellittico.

edit: CONFERMO...

L'ho ritagliata

Diventa un cono ellittico...

[ulisse]

Abbiamo usato riferimenti (e notazioni) differenti ma siamo arrivati al medesimo risultato e ciò, anche se non probante, conforta sulla correttezza dei risultati.

Mi pare però che siamo entrambi fermi sulla relazione tra t e t'.
Io ho affermato che il legame è lineare ma comincio ad avere dei dubbi a riguardo.
Certamente è vero nel caso del cono circolare. Forse, dico forse, qualcosa si salva nel caso la generatrice del cono sia un'ellisse ma nel caso la generatrice sia una curva qualsiasi (purché continua e chiusa) mhh... senza conti non so cosa affermare.
Comincio a pensare che il legame tra i due angoli sia differenziale e coinvolga anche il raggio. Stanotte mentre mi stavo addormentando mi è venuto in mente Keplero in barca a vela. Mi ha fatto pensare alla velocità areolare e alla "bombatura"delle vele. Chissà se c'entrano...

C'è una cosa che non mi quadra, Eugy, quando dici che l'ellisse di base e il suo sviluppo non hanno la stessa lunghezza. Forse intendevi dire che la formula per il calcolo della lunghezza (un integrale di linea) cambia rispetto al sistema di riferimento (t piuttosto che t')?
In tal caso saremmo allineati anche qui.
Mi toccherà prendere carta e penna e cominciare a fare qualche conto!

Domanda che mi attanaglia:
Secondo voi è sempre vero che theta<2*pigreco ovvero che il settore circolare è sempre meno ampio di un'intero cerchio o può succedere che se la generatrice del cono è particolarmente deforme (ad es. una circonferenza con una protuberanza lunga lunga lunga) lo sviluppo della superficie laterale sia un settore circolare che copre più di un cerchio?

[Eugy]

[Benny]

[Eugy]

E soprattutto l'andamento pseudo sinusoidale...

In effetti, coi dati da me ipotizzati, il rapporto tra ellissi e sviluppo viene circa 0,5 !

Quindi la mia curva di sviluppo "aperta" su un angolo di circa 180° presenta proprio l'andamento detto da ulisse

Ho rifatto la prova con un cono alto solo 4, ellissi di base sempre 6 e 3 di semiassi ed ecco il risultato:



blu= sviluppo con rotazione 360°
rosso= ellissi base
nero = sviluppo

Rimane la questione che il programma che ho usato dice che la curva nera NON è lunga quanto quella rossa...

Ora magari mi trovo un programma che calcoli gli integrali in modo preciso...