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* QUIZ: Il buco nella sfera
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ulisse
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MessaggioInviato: 18 Mar 2006 21:31    Oggetto: * QUIZ: Il buco nella sfera Rispondi citando

In una sfera solida viene fatto un foro cilindrico (in asse con la sfera) lungo esattamente 6 cm. e che attraversa la sfera da parte a parte.
Qual è il volume residuo della sfera?


L'ultima modifica di ulisse il 19 Mar 2006 12:58, modificato 1 volta
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Benny
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 12:34    Oggetto: Rispondi citando

Bei tempi quelli in cui semplicemente la mamma andava al mercato a comperare le mele... Wink

So già che mi pentirò di questa domanda:
Ma perché proprio 6 cm?
Bisogna trovare un'equazione che sottragga al volume di una sfera di raggio X, il volume di un cilindro di raggio Y e altezza 6 cm...

Immagino si parta dal presupposto che il buco sia sempre profondo 6 cm, cioè che il cerchio di base del cilindro sia tangente alla sfera oltre che coassiale, e che quindi il cilindro possa penetrare parzialmente la sfera o forarla parte per parte.

Così, giusto per capire da che parte devo iniziare...
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ulisse
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 13:15    Oggetto: Rispondi citando

Benny ha scritto:
Bei tempi quelli in cui semplicemente la mamma andava al mercato a comperare le mele... Wink

So già che mi pentirò di questa domanda:
Ma perché proprio 6 cm?
Bisogna trovare un'equazione che sottragga al volume di una sfera di raggio X, il volume di un cilindro di raggio Y e altezza 6 cm...

Immagino si parta dal presupposto che il buco sia sempre profondo 6 cm, cioè che il cerchio di base del cilindro sia tangente alla sfera oltre che coassiale, e che quindi il cilindro possa penetrare parzialmente la sfera o forarla parte per parte.

Così, giusto per capire da che parte devo iniziare...


Perché 6 cm? perché per fare i conti e ricavare un risultato numerico un dato va fornito. Ma in effetti poteva anche essere un generico t. L'importante è che sia una costante del problema.

Il cerchio di base del cilindro deve essere tangente alla sfera? essendo il cilindro in asse con la sfera le due basi sono sempre perpendicolari ad un diametro della sfera ma non sono tangenti ad essa!

Il foro può forare parzialmente la sfera? No. La passa da parte a parte come una perla di una collana.

Il cilindro in questione non è costituito dal materiale prelevato (cilindro + 2 calotte sferiche) ma dal volume interno alla perla rimasto "vuoto" (cioé è il foro).
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chemicalbit
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 14:41    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Il foro può forare parzialmente la sfera? No. La passa da parte a parte
ah ecco .. .questo non era detto nella formulazione del problema.
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ZapoTeX
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 15:20    Oggetto: Rispondi citando

36pigreco
Interessante che vada via il diametro del foro (o il raggio della sfera)


Bellino sto problemino!
PS: ho steccato i conti vero?
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Benny
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 16:39    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Il foro può forare parzialmente la sfera? No. La passa da parte a parte come una perla di una collana.

Così?


Questo limita il raggio della sfera, che dev'essere <= 6 cm (o <= t nel caso generico), ma ancor prima di fare conti, non mi pare che la l'altezza del cilindro sia determinante ai fini della soluzione, in quanto lo stesso foro può essere fatto con qualsiasi cilindro che abbia hcilindro >= Rsfera.
Ciò che trovo determinante è invece Rcilindro che deve essere per forza minore stretto di Rsfera.

In pratica bisogna sottrarre al volume della sfera
Vsf = (4/3)Pi*Rsf^3
il volume di questa figura:

Citazione:
Composta da un cilindro e due calotte sferiche.
Il cilindro ha semi-altezza
h1 = RADQ(Rsf^2 - Rcil^2)
e volume
Vcil2 = 2*h1*Pi*Rcil^2

Per le calotte, chiamata
h2 = Rsf - h1
il volume di ciascuna vale
Vcalotta = (1/3)*Pi*h2^2*(3Rsf - h2)

Perciò, le sostituzioni le lascio a chi vuol farle:
Vperla = Vsf - (Vcil2 + 2Vcalotta)


Mi pare corretto, ma bisogna vedere se ho centrato il problema...
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ulisse
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 19:01    Oggetto: Rispondi citando

chemicalbit ha scritto:
ulisse ha scritto:
Il foro può forare parzialmente la sfera? No. La passa da parte a parte
ah ecco .. .questo non era detto nella formulazione del problema.

Ehm no, Embarassed non lo avevo esplicitato perché pensavo che il termine non lasciasse spazio a dubbi.
Appena ho letto le richieste di precisazione ho comunque integrato il testo.
Wink
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ulisse
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 19:12    Oggetto: Rispondi citando

ZapoTex ha scritto:
PS: ho steccato i conti vero?


Assolutamente no! Il tuo risultato è corretto!
E confermo: facendo i conti si arriva alla sorpresa che hai notato tu. Immagino il tuo pensiero quando hai cominciato ad applicarti al problema. Sarà stato lo stesso mio: "impossibile! qui manca almeno un dato!!!".
Invece no!
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ulisse
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 20:08    Oggetto: Rispondi citando

Benny ha scritto:
Mi pare corretto, ma bisogna vedere se ho centrato il problema...

L'impostazione è corretta, il problema è centrato e le figure sono perfette!

Tra me e te, però non so chi è più stordito a passare la domenica a fare i conti!!!

Sarei curioso di sapere se anche Zapo ha fatto gli stessi conti...
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Benny
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 22:07    Oggetto: Rispondi citando

ZapoTex ha scritto:
Bellino sto problemino!
PS: ho steccato i conti vero?


Mi pareva mancasse qualcosa: la tua soluzione!
L'ho vista solo ora, certo che un po' più in evidenza...

ulisse ha scritto:
Tra me e te, però non so chi è più stordito a passare la domenica a fare i conti!!!

In effetti i conti non li ho fatti del tutto, visto che non avevo voglia di svilupparli... in fondo è pur sempre domenica!
Ma visto che stordito lo sono comunque, ho provato a fare lo sviluppo...
Però a me risulta diverso:

Citazione:
Vperla = (4/3)*Pi*(Rsf^2 - Rcil^2)^(3/2)


Non metto in dubbio che sia giusta la soluzione postata da Zapo, mi chiedo invece dove possa aver sbagliato...
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g3n1us
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 22:50    Oggetto: Rispondi citando

Citazione:
il volume residuo è 4/3 PIGRECO R^3!
quindi 36PIGRECO!!!


Spiegazione:
Citazione:


Non servono fare mega conti...basta ragionare per assurdo!
se non so la larghezza del buco vuol dire che non serve per arrivare al risultyato e che il volume della sfera residuo sarà lo stesso per ogni buco poiche il raggio della sfera crescerà al crescere del buco.
ragionando al contrario se diminuscio la largezza del buco il raggio della sfera diminuirà .....se il buco è piccolissimo per esempio il raggio sarà 6.3cm/2 per esempio....pensando per assurdo a un buco nullo la lunghezza di esso sarà 6cm ovvero = al raggio...quindi il volume residuo sarà il volume di una sfera con R=6cm!
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g3n1us
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 23:12    Oggetto: Rispondi citando

ah...ho appena scoperto la soluzione di zapotek...non molto leggibile!
Cmq ho cercato di dare una spiegazione decente...
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Benny
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 23:34    Oggetto: Rispondi citando

ALT! FERMI TUTTI!
Non ho capito nulla: pensavo che i 6 cm si riferissero all'altezza del cilindro che penetra la sfera... invece è la profondità del foro che attraversa la sfera... perciò come dice g3n1us:
Citazione:
all'aumentare del raggio del foro, rimanendone costante la profondità, il raggio della sfera deve aumentare, poiché come ho scritto in precedenza:
h1 = RADQ(Rsf^2 - Rforo^2) = 3
essendo h1 metà della profondità del foro...
quindi:
Rsf = RADQ(9 + Rforo^2)
il raggio della sfera aumenta con il raggio del foro

quel che ho scritto prima risulta quindi:
Citazione:
Vperla = (4/3)*Pi*[9 + Rforo^2 - Rforo^2]^(3/2) = 36*Pi


ORA TORNA TUTTO!
Il ragionamento era giusto, ma sbagliavo la valutazione dei dati iniziali.

Quello che ho scritto nel post precedente vale nel caso i due raggi (sfera e foro) siano indipendenti tra loro...

edit: nella seconda citazione c'era un errore di battitura... corretto!
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 23:36    Oggetto: Rispondi citando

be certo...
anche perchè se 6cm fosse il diametro della sfera il problema non avrebbe soluzione univoca!
Laughing
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Benny
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 23:51    Oggetto: Rispondi citando

g3n1us ha scritto:
be certo...
anche perchè se 6cm fosse il diametro della sfera il problema non avrebbe soluzione univoca!

Infatti la mia prima soluzione non era univoca, ma spaziava in un campo che imponeva come unico vincolo che
Rforo < Rsfera <= 3
Umpf
Come dicevi Uli? Sono stordito?
Direi di sì!
Ma quando mi hai visto vaneggiare non hai cercato di portarmi sulla retta via? O i miei disegni ti hanno distratto troppo?
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g3n1us
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MessaggioInviato: 19 Mar 2006 23:52    Oggetto: Rispondi citando

comunque grande quesito!
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ZapoTeX
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MessaggioInviato: 20 Mar 2006 11:22    Oggetto: Rispondi citando

Ottima l'idea di ragionare prendendo un limite... L'unico trucco che mi era venuto in mente che non ho usato era fare il conto e dire: tanto so che deve andare via tutto e prendo solo i termini noti...

Ciao!
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chemicalbit
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MessaggioInviato: 20 Mar 2006 15:01    Oggetto: Rispondi citando

Premesso che non ho letto per bene tutta la discussione,

mi sfugge una cosa:
Benny ha scritto:
ALT! FERMI TUTTI!
Non ho capito nulla: pensavo che i 6 cm si riferissero all'altezza del cilindro che penetra la sfera... invece è la profondità del foro che attraversa la sfera...
Ma se il foro passa da parte a parte la sfera,
i 6 cm di profondità del foro implicano che il diametro della sfera è 6 cm.
O no?
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Benny
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MessaggioInviato: 20 Mar 2006 15:50    Oggetto: Rispondi

chemicalbit ha scritto:
i 6 cm di profondità del foro implicano che il diametro della sfera è 6 cm.
O no?

All'inizio lo pensavo anch'io...
ma se riprendiamo il disegno che ho postato

che rappresenta ciò che viene "scavato" dalla sfera, la profondità del foro corrisponde all'altezza del cilindro senza le due calotte.
Se provi a diminuire il raggio del cilindro, vedrai che la sua altezza aumenterà mentre si ridurranno le due calotte sferiche.

Mantenendo invece costante l'altezza del cilindro (com'è il nostro caso) all'aumentare (o diminuire) del raggio del foro dovrà aumentare (o diminuire) il raggio della sfera.
Perciò nel caso limite presentato da g3n1us, se il foro ha raggio nullo la sua altezza viene a coincidere con il diametro della sfera, e infatti le due calotte spariscono.

Insomma: il foro non va misurato lungo il diametro della sfera, ma dai suoi bordi, dove il cilindro taglia la sfera.

Non so se mi sono spiegato bene, ma purtroppo non ho ora la possibilità di fare un altro disegnino...
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