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ulisse
Dio maturo
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Residenza: Bagnone (MS)
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 Inviato: 24 Mar 2006 21:28 Oggetto: QUIZ: Vado a farmi un giro giro tondo |
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Uno che non ha proprio niente da fare decide di fare un giro.
Ovvero, letteralmente sceglie un punto come centro, si mette a un chilometro da esso e gli gira intorno a velocità costante descrivendo, quindi, una circonferenza di raggio 1 km.
Tornato al punto di partenza guarda l'orologio e visto che è passata esattamente un'ora decide di farsi un altro giretto.
Poichè, però è un po' tardi, prima del giro si avvicina al centro dimezzando la distanza da esso. Dunque cammina lungo il raggio fermandosi a metà strada da esso.
Quindi inizia il suo giretto lungo la circonferenza di raggio 0,5 km.
Concluso anche questo secondo giro guarda l'orologio e decide che ha ancora tempo a disposizione e ripete tutto il procedimento (dimezza il raggio, fa un giro, etc. etc.) fino a raggiungere il centro.
Ipotizzando che la persona sia puntiforme e che per tutto il tempo si muova con velocità costante senza mai fermarsi; quando ha raggiunto il centro:
1) quanti giri ha fatto?
2) quanta strada ha percorso?
3) quanto tempo ha impiegato? |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
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Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 25 Mar 2006 04:19 Oggetto: Re: QUIZ: Vado a farmi un giro giro tondo |
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| Citazione: | Secondo Zenone, se per andare da un punto A ad un punto B si procede dimezzando di volta in volta la distanza (cioè percorrendo AB/2, poi AB/4, AB/8 e così via), il tempo impiegato per raggiungere il punto B è infinito, sempre che a "muoversi" sia un'entità puntiforme, come in questo caso.
Percorrerà perciò infinite circonferenze, ma lo spazio percorso sarà:
{sommatoria(0<=n<infinito)2Pi*[r/2^n] + sommatoria(1<=m<infinito)[r/2^m]} e questo è un numero finito (per lo stesso motivo per cui 0,9periodico = 1)
allora, per quel che mi concede l'ora tarda (cosa ci faccio qui non lo so!):
1) i giri percorsi saranno infiniti
2) lo spazio percorso sarà finito e uguale al limite per n-->infinto della sommatoria(n)2Pi*[r/(2^n)] più la distanza r=1 Km
3) il tempo impiegato infinito
Sbaglio o c'è qualcosa che non va? Poiché:
(spazio finito)/(velocità finita)=(tempo finito) |
@Uli: dimmi che qualche neurone buono ce l'ho ancora! |
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Eugy
Eroe
Registrato: 15/01/06 01:27
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| Inviato: 25 Mar 2006 11:50 Oggetto: |
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| Citazione: |
Paradosso di Zenone ??
Mi pare che con i dati del problema.... il centro non viene raggiunto mai...
La parola chiave è PUNTIFORME.
Il punto non ha dimensioni, quindi può dimezzare la sua distanza dal centro senza mai raggiungerlo esattamente.
Quindi ..
1) Infiniti
2) 2pi+1
3) Sta ancora girando..... fermatelooooooo !! 
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sowdust
Eroe
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Residenza: Alessandria
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| Inviato: 25 Mar 2006 14:01 Oggetto: |
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premettendo che non ho ancora letto le altre soluzioni...
| Citazione: |
mi sembra molto il problema di Achille e la tartaruga... non raggiungerà mai il centro, visto che in un segmento ci sono infiniti punti, si potrà sempre dividere a metà (e non corrisponderà mai con nessuno dei due punti "finali" (come si chiamano?) )
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 25 Mar 2006 15:01 Oggetto: |
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Eheheheh (ghigno diabolico tanto per dare a DittaturaKristiana qualcosa di cui parlare)...
| Per fornire un piccolo suggerimento, Ulisse ha scritto: | | Ricordo che a velocità costante si percorrono spazi finiti in tempi finiti... |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 25 Mar 2006 15:19 Oggetto: Re: QUIZ: Vado a farmi un giro giro tondo |
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| Benny ha scritto: | | Sbaglio o c'è qualcosa che non va? |
Certo! Sei incappato, appunto, nel paradosso di Zenone (detto anche di Achille e la tartaruga).
Basandosi sul fatto che le circonferenze sono sempre più piccole ma sempre discoste dal centro si potrebbe erroneamente concludere che al centro non ci si arriva mai. Oppure, diversamente, che essendo le circonferenze in numero infinito non possono essere percorse tutte in un tempo finito.
Ma...
| Citazione: | ... così come la somma delle lunghezze di tutte le infinite circonferenze è una serie convergente, così la somma dei tempi impiegati a percorrerle è una serie altrettanto convergente.
Ciò fa quadrare i conti col fatto che a velocità costante distanze finite si percorrono in tempi finiti (e non infiniti) |
1) giusto
2) giusto
3) sbagliato
@Eugy: vedi sopra e controlla il limite della serie geometrica!
@Sow: lo è, lo è... e infatti Achille raggiunge la tartaruga! |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
Registrato: 28/01/06 14:35
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Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 25 Mar 2006 15:34 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | Per fornire un piccolo suggerimento, Ulisse ha scritto: | | Ricordo che a velocità costante si percorrono spazi finiti in tempi finiti... |
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In effetti
| Benny, pur in un momento di scarsa lucidità mentale, ha scritto: | 3) il tempo impiegato infinito
Sbaglio o c'è qualcosa che non va? Poiché:
(spazio finito)/(velocità finita)=(tempo finito) |
Perciò
| sempre Benny, dopo aver dormito qualche oretta, ha scritto: | Il problema risiede nel fatto che lo spazio percorso, pur essendo finito, è comunque somma di infiniti termini.
Il paradosso di Zenone intendeva proprio dimostrare che non sempre la sommatoria di infiniti termini è un infinito.
E se questo vale per lo spazio, parimenti vale per il tempo, in quanto legati da una proporzionalità diretta.
Per percorrere uno spazio infinitesimale occorre, a velocità costante finita, un tempo infinitesimale, perciò anche il tempo seguirà la stessa regola:
t = {sommatoria(0<=n<infinito)2Pi*[r/2^n] + sommatoria(1<=m<infinito)[r/2^m]}/velocità
che tende ad un termine finito per n e m tendenti a infinito.
Perciò la risposta va retificata in questo modo:
1) i giri percorsi saranno infiniti
2) lo spazio percorso sarà finito
3) il tempo impiegato finito
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Ma se la velocità costante e finita dovesse essere c, il concetto di tempo e spazio varierebbero... |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
Registrato: 28/01/06 14:35
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Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 25 Mar 2006 15:41 Oggetto: |
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GRANDE!
Sono riuscito a postare la mia correzione dopo quella fatta da Ulisse!
E non con 1 o 2 minuti di ritardo... ma ben 15!
Forse un'altra dormitina mi farebbe bene! |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 25 Mar 2006 15:53 Oggetto: |
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| Benny ha scritto: | | Perciò la risposta va rettificata in questo modo: (...) |
Esatto. Ora non ti resta che fare i conti. Per calcolare il limite delle due serie geometriche che hai scritto hai tre possibilità:
1) leggere qui a cosa converge
2) con un semplice ragionamento ricavi il risultato della seconda sommatoria e lo sfrutti per calcolare il risultato della prima
3) prendi due torte e mangi metà di quello che hai. Poi di quella rimasta ne mangi la sua metà e così via. Alla fine quello che hai mangiato è la somma della serie geometrica di ragione 1/2. (prima di cominciare a mangiare fette su fette ricordati di scartare il pigreco che è indigesto! E siccome siamo rispettosi dell'ambiente ciò che scartiamo lo raccogliamo  )
| Citazione: | | Ma se la velocità costante e finita dovesse essere c, il concetto di tempo e spazio varierebbero... |
dipende dall'osservatore... |
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Daviz
Eroe in grazia degli dei
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| Inviato: 25 Mar 2006 17:32 Oggetto: |
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| Citazione: | Se non erro, dimezzando le distanze tra se stesso e il centro, non arriverà mai al centro. Quindi, non so il risultato di tutto il resto  ma non raggiungendo mai il centro il resto del problema non mi tange |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 25 Mar 2006 20:43 Oggetto: |
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| Daviz ha scritto: | | Citazione: | | Se non erro, dimezzando le distanze tra se stesso e il centro, non arriverà mai al centro. Quindi, non so il risultato di tutto il resto ma non raggiungendo mai il centro il resto del problema non mi tange |
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Lo raggiunge, lo raggiunge. E in poco meno di | Citazione: | | 2 ore e 10 minuti! Per la precisione, percorrendo (4pi + 1) km alla velocità costante di 2pi km/h, lo raggiunge, dopo infiniti giri intorno ad esso, in (2 + 1/2pi) ore! |
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Benny
Moderatore Hardware e Networking
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Residenza: Non troppo vicino, mai troppo lontano
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| Inviato: 25 Mar 2006 21:33 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | 2) con un semplice ragionamento ricavi il risultato della seconda sommatoria e lo sfrutti per calcolare il risultato della prima |
Andando per reminiscensce, senza fare conti dovrebbe essere:
| Citazione: | considerando la velocità
v = 2*Pi*r =~ 6,28 Km/h (offio, come diceva il mio professore di analisi)
lo spazio sarà
S = 4*Pi + 1 =~ 13,56 Km
e il tempo tempo
t = S/v =~ 2,159 h
cioè impiegherà 2h 9' 33'' e qualche millesimo |
Il calcolo dello spazio risulta da:
| Citazione: | S = {sommatoria(0<=n<infinito)2Pi*[r/2^n] + sommatoria(1<=m<infinito)[r/2^m]}
Raccogliendo da buoni ecologisti  si ha:
S = {2*Pi*sommatoria(0<=n<infinito)[1/2^n] + sommatoria(1<=m<infinito)[1/2^m]}*r
E poiché
sommatoria(0<=n<infinito)[1/2^n] = 1 + sommatoria(1<=n<infinito)[1/2^n]
si ha:
S = {2*Pi*1+2*Pi*sommatoria(1<=n<infinito)[1/2^n] + sommatoria(1<=m<infinito)[1/2^m]}*r
Ma, e qui esce la reminescenza:
sommatoria(1<=n<infinito)[1/2^n] = 1
Perciò
S = (2*Pi+2*Pi+1)*r = 4*Pi*r + r = 4*Pi + 1 = 13,56 Km
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Daviz
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 31/01/06 16:02
Messaggi: 133
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| Inviato: 25 Mar 2006 22:59 Oggetto: |
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Boh, a me risultava una tendenza all'infinito...  |
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ulisse
Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09
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Residenza: Bagnone (MS)
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| Inviato: 27 Mar 2006 16:24 Oggetto: |
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| Daviz ha scritto: | | Boh, a me risultava una tendenza all'infinito... |
Vedo che non hai provato a mangiare la torta!
@ Benny: Ferpetto! |
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