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Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 04 Feb 2008 19:38 Oggetto: * a buon intenditor... |
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Il prof. Bevilacqua, a dispetto del nome, si vanta di essere un grande intenditore di vini.
Alla fine di una cena fra colleghi, per metterlo alla prova, gli amici, maliziosamente, gli sottopongono 5 bicchieri, contenenti, non nell'ordine,
Aglianico, Barolo, Chianti, Dolcetto ed Etna
e gli chiedono di assegnare, dopo un breve assaggio, ad ognuno dei bicchieri il giusto vino.
Ma il prof. non è affatto un intenditore, per cui l'unica cosa che può fare è attribuire i nomi a casaccio e sperare di fare bella figura...
Qual è la probabilità che non indovini neanche un abbinamento?
E se i bicchieri (ed i vini) fossero N, come si può generalizzare? |
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madvero
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| Inviato: 08 Feb 2008 23:54 Oggetto: |
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ciao salmastro !!!
sono passati quattro giorni dal tuo post, l'hanno letto una quarantina di persone e nessuno ha proposto nulla.
non ti sembra l'ora di calare un aiutino? 
più che altro, l'approccio iniziale al problema, tanto per capire se ci si va via n_fattoriale_su_k_fattoriale_per_n_meno_k_fattoriale o cosa... |
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madvero
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| Inviato: 09 Feb 2008 00:00 Oggetto: |
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lancio la mia proposta, molto terra terra.
| Citazione: | al primo giro, ha 4 possibilità du 5 di sbagliare.
sbagliata la prima, la seconda volta ne ha 3 su 5.
sbagliata la seconda, ne ha 2 su 5.
sbagliata la terza, ne ha 1 su 5.
e per esclusione, se ha sbagliato tutte le l'altre, anche l'ultima sarà sbagliata per forza.
quindi direi
4/5*3/5*2/5*1/5
e quindi il 3,84%
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se non ho detto una castroneria da paura, adesso provo ad astrarre. |
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madvero
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| Inviato: 09 Feb 2008 00:07 Oggetto: |
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detto n il numero di bicchieri possibili, la formula per risolvere il quesito potrebbe essere
| Citazione: | | p = (n-1)! / [n^(n-1)] |
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madvero
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| Inviato: 09 Feb 2008 00:08 Oggetto: |
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okkei, mi scrivo da sola il riprovato sul libretto e me ne torno a casa. |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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| Inviato: 09 Feb 2008 11:39 Oggetto: |
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io intanto butto lì un | Citazione: | | 11/30=0,367=36,7% |
ma senza una dimostrazione accettabile, quindi non vale.....
continuo a perdermi tra le probabilità condizionate...  |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 09 Feb 2008 11:39 Oggetto: |
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confesso di non conoscere la soluzione 
so solo che procedendo brutalmente e manualmente si ottiene per il caso "tutto sbagliato" una probabilità di
e sempre allo stesso modo si ottiene questa serie di risultati, per N da 1 a 5 (laddove con E si indica il caso "tutto sbagliato")
| Citazione: | N=1 ---> E(1)=0
N=2 ---> E(2)=1
N=3 ---> E(3)=2
N=4 ---> E(4)=9
N=5 ---> E(5)=44
l'unica regolarità che ho scovato è che pare che
E(N) sia uguale, almeno per N>2, a [E(N-2)+E(N-1)]*[N-1] |
ma non so dare alcuna giustificazione teorica, al momento 
help me!!
EDIT: nella prima citazione stesso risultato di Jowex!!! ...e stesse perplessità  |
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madvero
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| Inviato: 09 Feb 2008 16:34 Oggetto: |
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jowex e salmastro, volate più basso.
io vi ho detto che ho preso il prodotto di quelle che secondo me sono le probabilità successive (e probabilmente non lo sono).
invece i vostri conti da cosa saltano fuori? |
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madvero
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| Inviato: 09 Feb 2008 17:16 Oggetto: |
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'spetta che ci ho ragionato un secondo.
ripeto il mio stesso ragionamento, ma con le probabilità giuste.
| Citazione: | p(sbagliare il primo assaggio) = 4/5
p(sbagliare il secondo assaggio) = 3/4
p(sbagliare il terzo assaggio) = 2/3
p(sbagliare il quarto assaggio) = 1/2
p(sbagliare il quinto assaggio) = 1/1 |
perciò
| Citazione: | | p(sbagliarle tutte) = 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 24/120 = 0,2 = 20% |
quindi detto n il numero di bicchieri, per generalizzare, si dovrebbe avere
| Citazione: | | p = (n-1)! / n! |
o no? |
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madvero
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| Inviato: 09 Feb 2008 17:30 Oggetto: |
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però mi spiegate seguendo quale ragionamento siete arrivati a
| Citazione: | | 11/30 o 44/120 |
che proprio non lo capisco? |
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madvero
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| Inviato: 09 Feb 2008 17:36 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | sempre allo stesso modo si ottiene questa serie di risultati, per N da 1 a 5
(laddove con E si indica il caso "tutto sbagliato")
| Citazione: | N=1 ---> E(1)=0
N=2 ---> E(2)=1
N=3 ---> E(3)=2
N=4 ---> E(4)=9
N=5 ---> E(5)=44
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ecco, anche questa non la capisco.
secondo me, seguendo la tua stesura del problema,
| Citazione: | | N=1 ---> E(1)=1/2 |
cioè se c'è un bicchiere solo
| Citazione: | | ho il 50% di probabilità di sbagliare |
invece per
mi sto arrampicando sui vetri per cercare di arrivarci. |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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| Inviato: 09 Feb 2008 17:39 Oggetto: |
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non volevo farti arrabbiare madvero...
| Citazione: | Supponendo che la sequenza "vera" di vini sia ABCDE, gli abbinamenti possibili sono tutte le permutazioni di ABCDE, ovvero 5! = 120.
Andando a verificare brutalmente (nel senso di contare) quante sono le sequenze che non contengono A in 1a posizione o B in 2a o C in 3a o D in 4a o E in 5a, si trova che sono 44 su 120, quindi P = 44/120 = 11/30
Per altri n:
n=1 -> p=0
n=2 -> p=1/2
n=3 -> p=2/6
n=4 -> p=9/24
n=5 -> p=44/120
n=6 -> p=265/720
Probabilmente salmastro, con buono spirito di osservazione, si è accorto che la sequenza 0 1 2=2*1 9=3*3 44=4*11 265=5*53 ...
può essere descritta dalla relazione che ha postato precedentemente (ma questo ce lo può dire meglio lui) |
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madvero
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| Inviato: 09 Feb 2008 17:49 Oggetto: |
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ma mica mi fai arrabbiare !!!
aspetta che ti leggo. |
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madvero
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| Inviato: 09 Feb 2008 17:56 Oggetto: |
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| il mio carissimo amico Jowex ha scritto: | | Supponendo che la sequenza "vera" di vini sia ABCDE, gli abbinamenti possibili sono tutte le permutazioni di ABCDE, ovvero 5! = 120. |
fin qui ci sono
| il mio carissimo amico Jowex ha scritto: | | Andando a verificare brutalmente (nel senso di contare) quante sono le sequenze che non contengono A in 1a posizione o B in 2a o C in 3a o D in 4a o E in 5a, si trova che sono 44 su 120, quindi P = 44/120 = 11/30 |
già qui non ci sono più
| il mio carissimo amico Jowex ha scritto: | Per altri n:
n=1 -> p=0
n=2 -> p=1/2
n=3 -> p=2/6
n=4 -> p=9/24
n=5 -> p=44/120
n=6 -> p=265/720
Probabilmente salmastro, con buono spirito di osservazione, si è accorto che la sequenza 0 1 2=2*1 9=3*3 44=4*11 265=5*53 ...
può essere descritta dalla relazione che ha postato precedentemente (ma questo ce lo può dire meglio lui) |
questa la capisco bene, ma discende dalla precedente che invece non ho compreso.
rispiegami il conteggio brutale.
sono secoli che non apro un manuale di calcolo della probabilità e statistica. |
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madvero
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| Inviato: 09 Feb 2008 18:00 Oggetto: |
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| alle mie domande ignoranti, aggiungerei anche questa: disposizioni o permutazioni? |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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| Inviato: 09 Feb 2008 18:26 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: | rispiegami il conteggio brutale.
sono secoli che non apro un manuale di calcolo della probabilità e statistica. |
Il problema è proprio che non c'è nulla di calcolo delle probabilità! Hai due possibilità: | Citazione: | 1. scrivi tutte le permutazioni di ABCDE in un file di testo (con un editor che ti permette di copiare e incollare per colonne si fa abbastanza in fretta)
Poi dall'elenco elimini le sequenze non valide (io ho fatto un match con grep (programma da riga di comando) e l'espressione regolare ^[^a][^b][^c][^d][^e]$ che trova le stringhe che non contengono a in 1a posizione oppure b in 2a ecc ecc.) e conti...
2. scrivi un programmino che ti calcoli tutte le permutazioni, e che conta quelle accettabili per il problema.
Il numero trovato diviso per il numero di permutazioni ti dà la probabilità cercata, dato che ogni permutazione è equiprobabile rispetto alle altre.
E' giusto considerare le permutazioni, perché in 1 hai 5 possibilità, in 2 ne hai 4, in 3 ne hai 3.... quindi 5*4*3*2*1=5!
D'altra parte le disposizioni di n elementi presi n a n sono proprio n!, quindi è la stessa cosa |
Ora cerco di motivare che cos'è che non va nel calcolo delle probabilità che hai riportato prima.... |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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| Inviato: 09 Feb 2008 19:01 Oggetto: |
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| madvero ha scritto: | p(sbagliare il primo assaggio) = 4/5
p(sbagliare il secondo assaggio) = 3/4
p(sbagliare il terzo assaggio) = 2/3
p(sbagliare il quarto assaggio) = 1/2
p(sbagliare il quinto assaggio) = 1/1 |
Sempre supponendo "vera" la sequenza ABCDE, | Citazione: | la p(sbagliare il primo assaggio) è giusta (4/5), ma la p(sbagliare il secondo assaggio) può essere 3/4 (se B è tra i vini ancora assegnabili) oppure può essere 4/4=1 (se B è stato assegnato al primo bicchiere). Stessa complicazione per i bicchieri successivi...
Ovvero, usando le probabilità condizionate e indicando con 1 2 3 4 5 i cinque bicchieri (e supponendo esatta la sequenza ABCDE):
P{sbagliare 1 e 2 e 3 e 4 e 5} = P{sbagliare 1} * P{sbagliare 2 e 3 e 4 e 5 | ho sbagliato 1}
ma bisogna distinguere in che modo è stato sbagliato il bicchiere 1.
e da qui nascono tutti i miei tentativi senza arrivare ancora a nulla....
EDIT: per es. usando il teorema della probabilità assoluta, si può scrivere:
P(!1 e !2 e !3 e !4 e !5) =
P(!1 e !2 e !3 e !4 e !5 | 1=A)P(1=A) + P(!1 e !2 e !3 e !4 e !5 | 1=B)P(1=B) + P(!1 e !2 e !3 e !4 e !5 | 1=C o 1=D o 1=E)P(1=C o 1=D o 1=E) =
0 + 1/5 * P(!2 e !3 e !4 e !5 | 1=B) + 3/5 * P(!2 e !3 e !4 e !5 | 1=C o 1=D o 1=E) |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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| Inviato: 10 Feb 2008 11:10 Oggetto: |
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Ho trovato una dimostrazione per n=5 lunga e noiosa, di cui riporto solo i passaggi principali.
Chiamo Q(5) la probabilità cercata, e indico per brevità !1 l'evento in cui al bicchiere 1 non si assegna l'etichetta A (e quindi l'assegnamento è sbagliato).
Sempre per brevità, ometto la "e" tra gli eventi che devono verificarsi contemporaneamente.
| Citazione: | Q(5) = P(!1 !2 !3 !4 !5) =
(per il teorema della prob. assoluta)
= P(!1 !2 !3 !4 !5|1=A)*P(1=A) + P(!1 !2 !3 !4 !5|1=B)*P(1=B) + P(!1 !2 !3 !4 !5|1=C)*P(1=C) + P(!1 !2 !3 !4 !5|1=D)*P(1=D) + P(!1 !2 !3 !4 !5|1=E)*P(1=E) =
(semplificando i termini che diventano ininfluenti a causa dei condizionamenti)
= 0 + P(!3 !4 !5|1=B)/5 + P(!2 !4 !5|1=C)/5 + P(!2 !3 !5|1=D)/5 + P(!2 !3 !4|1=E)/5 =
(considerando che le 4 probabilità rimaste sono equivalenti)
= 4/5 * P(!3 !4 !5|1=B)
Applicando ancora il teorema della prob. assoluta, si trova che
P(!3 !4 !5|1=B) = 11/24 (non è immediato, ma bastano un paio di passaggi), quindi:
Q(5) = 4/5 * 11/24 = 44/120 = 11/30
Si può dimostrare anche che (nemmeno questo è immediato)
P(!3 !4 !5|1=B) = Q(3) / 4 + Q(4) (*****), quindi:
Q(5) = 4/5 * (Q(3) / 4 + Q(4)) = (Q(3) + 4*Q(4)) / 5
che è un caso particolare della formula della probabilità per n generico
Q(n) = ((n-1)*Q(n-1) + Q(n-2))/n
che si può ricavare anche dalla formula di salmastro
E(n) = (n-1)[E(n-1)+E(n-2)]
ponendo Q(n) = E(n)/n!
(*****) per n generico sarebbe sufficiente dimostrare che:
P(tutti gli abbinamenti dal bicchiere 3 a n sono sbagliati | 1=B) =
= P(!3 !4 !5 ... !n | 1=B) = Q(n-2)/(n-1) + Q(n-1)
ma questo non l'ho fatto, però credo che il metodo sia uguale a quello per n=5.... |
Se qualcuno volesse vedere qualche passaggio in più, posso aggiungerlo, prima di buttare gli appunti...
Se invece qualcuno avesse una dimostrazione migliore, ne sarei molto contento  |
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patato
Mortale pio
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Messaggi: 28
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| Inviato: 19 Mar 2008 18:12 Oggetto: |
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Non riesco a leggere le quotes dei messaggi in alcuno dei post contenuti nella mail!
Come mai? |
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madvero
Amministratore
Registrato: 05/07/05 21:42
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Residenza: L'immagine ha il solo scopo di rappresentare il prodotto.
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| Inviato: 19 Mar 2008 20:41 Oggetto: |
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si chiama spoiler.
lo facciamo apposta per impedire che qualcuno legga, involontariamente, le soluzioni dei giochi.
in pratica, al posto di mettere il testo in rosso o in verde, lo mettiamo in bianco; quotando, anche lo sfondo è bianco.
così, chi vuole cimentarsi a trovare una soluzione senza leggere per sbaglio quelle degli altri, può farlo.
per leggere le soluzioni, invece, è sufficiente evidenziare col mouse la parte quotata. |
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