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* QUIZ: Dodici palline: la soluzione definitiva!
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Autore Messaggio
Taifu
Semidio
Semidio


Registrato: 24/10/06 10:13
Messaggi: 203

MessaggioInviato: 14 Feb 2007 23:35    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Taifu: sei proprio sicuro che le pesate 4 - 4 non si possano stabilire a priori?


Mah... se lo dici così direi di no, che non sono per niente sicuro... Smile

Domani ci penso.

Notte.
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Taifu
Semidio
Semidio


Registrato: 24/10/06 10:13
Messaggi: 203

MessaggioInviato: 15 Feb 2007 11:00    Oggetto: Rispondi citando

Taifu ha scritto:
Domani ci penso.


Ci ho pensato.

Questo è il meglio a cui sono giunto per ora.

Sulla bilancia possono starci 8 palline per volta e, avendo 3 pesate e 12 palline, posso fare in modo che ogni pallina ci stia esattamente due volte e mai con le stesse tre.

Una cosa del tipo:
1234 5678
196b 5a2c
379a 48bc

In questo modo ogni pallina sta sulla bilancia due e solo due volte e mai con una pallina uguale dallo stesso lato.
Credo che in qualche modo questo possa portare al risultato, anche se non so ancora come.

Ulisse, sono sulla strada giusta?
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 15 Feb 2007 12:33    Oggetto: Rispondi citando

l'unica cosa decente che mi viene in mente è che con tre pesate e tre possibili esiti ci sono 27 risultati: come con 3 triple del totocalcio.
1 se la bilancia pende a sinistra;
2 se pende a destra
X ...pareggio

ma, se le pesiamo tutte, almeno una volta, XXX non c'è
e facendo in modo che una pallina non sia sempre su uno stesso piatto eliminiamo 111 e 222.
rimangono 24 esiti...

ora è da fare una sana distribuzione delle 12 palline in gruppi...

salmastro
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Taifu
Semidio
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MessaggioInviato: 15 Feb 2007 12:51    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
rimangono 24 esiti...


Che guarda caso sono proprio le nostre possibilità (12 palline per 2 anomalie)...

Allora vuol dire che sono fuori strada perchè nel mio caso ogni pallina la peso almeno due volte per cui sono eliminati anche XX1, XX2, X1X, X2X, 1XX, 2XX.
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ulisse
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MessaggioInviato: 15 Feb 2007 18:08    Oggetto: Rispondi citando

Ma siete grandi!

Salmastro ha effettivamente scovato l'isomorfismo tra le 24 possibili configurazioni (12 palline x 2 tipi di anomalia) e i 24 possibili esiti delle pesate (XXX esclusa perché sappiamo che una pallina anomala c'è, 111 e 222 escluse perché non si mette mai tre volte la pallina nello stesso posto)

Taifu ha, dal suo canto, gettato le basi per individuare la sequenza delle pesate.
I ragionamenti sono ottimi ma richiedono una aggiustatina.
Dovete tener presente che due palline che seguono la stessa logica di posizionamento per tutte e tre le pesate saranno indistinguibili.
Dunque dovete individuare un metodo che garantisca che ogni pallina abbia un comportamento diverso dalle altre nelle complessive tre pesate.

Siete già ben oltre il punto in cui mi ero arenato io!
Applause
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Taifu
Semidio
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Registrato: 24/10/06 10:13
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MessaggioInviato: 15 Feb 2007 19:24    Oggetto: Rispondi citando

Credo di esserci!

Sono sceso alla fermata dell'autobus sbagliata da quanto ero immerso nei ragionamenti... Smile

Adesso devo andare alla partita di basket ma stanotte, al mio ritorno, scrivo quanto trovato.
Si tratta essenzialmente di un metodo per calcolare le pesate a ritroso posizionando le palline a una a una.
A prima vista, non escludo nessuna combinazione tranne XXX perchè in questo modo non avrei indicazioni sulla pallina lasciata fuori.
E` però chiaro che 111 esclude 222.

A stanotte Smile
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Taifu
Semidio
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Registrato: 24/10/06 10:13
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MessaggioInviato: 15 Feb 2007 20:09    Oggetto: Rispondi citando

Ho avuto un buco di 10 minuti e ho provato a scrivere una soluzione (che usa anche 111 e 222!)

Citazione:

49ac - 1258
57bc - 1349
456c - 23ab



IL METODO FUNZIONA! Smile

Stanotte provo a spiegarmi.

Ciao.
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ulisse
Dio maturo
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MessaggioInviato: 15 Feb 2007 23:23    Oggetto: Rispondi citando

I 10 minuti sono quelli di attesa dell'autobus per tornare indietro di una fermata? Very Happy

Ti confermo che funziona.

Applause Applause Applause

I tre esiti esclusi nella tua configurazione sono OOO, LLR e RRL.

Attendo curioso le spiegazioni.
Nel frattempo posto quelle fornite da O'Beirne che non credo aggiungeranno nulla di nuovo al tuo contributo.

Citazione:
Nominiamo le 12 palline con altrettante lettere dell'alfabeto.
Dividiamo le palline in 4 gruppi da 3 palline.
ABC, DEF, GHK, XYZ
Se voglio sfruttare l'asimmetria ogni gruppo deve avere un numero dispari di palline e, con 12 palline, questo è l'unico modo.

Ogni pesata può avere tre esiti: O (equilibrio), L (maggior peso sul piatto di sinistra) e R (destra).

I possibili esiti delle 3 pesate sono dunque 27.
Per garantire la massima efficienza del metodo (ovvero per evitare che due diverse terne di esiti conducano alle stesse conclusioni) è indispensabile che le palline di ogni gruppo non vengano mai disposte sulla bilancia due volte nello stesso modo.
Ciò può essere ottenuto, a meno di permutazioni, solo adottando il seguente schema che indica, per ogni gruppo, quante palline devono essere escluse dalla pesata, quante vanno sul piatto di sinistra e quante su quello di destra (i tre numeri indicano in ordine: non pesate, piatto di sinistra, piatto di destra):

ABC: 012
DEF: 120
GHK: 201
XYZ: 111

Indichiamo con O, L e R i tre possibili esiti di una pesata (corrispondenti, rispettivamente a equilibrio, sbilancio a sinistra , sbilancio a destra).
L'esito OOO significa che non ci sono palline anomale.
Gli esiti LLL e RRR possono essere esclusi perché, rispettando il precedente schema, non avremo mai la stessa pallina sullo stesso piatto per 3 pesate consecutive.

Quindi i possibili esiti sono in effetti 24 ovvero tanti quanti le possibili risposte (12 palline potenzialmente anomale per 2 possibili segni dell'anomalia) e, con qualche (!) ragionamento è possibile attribuire ad ognuno dei 24 esiti uno dei 24 casi possibili.

La sequenza delle pesate è (il primo gruppo rappresenta le palline non pesate, il secondo quelle deposte nel patto di sinistra e il terzo sul piatto di destra):

Prima pesata
DHKX , AEFZ , BCGY
Seconda pesata
EKGY , BFDX , CAHZ
Terza pesata
FGHZ , CDEY , ABKX

Se nelle tre pesate non compare l'equilibrio (LLR, LRL, RLL, RRL, RLR, LRR) significa che la pallina anomala è stata pesata 3 volte e quindi deve essere nel gruppo ABC. Se ci sono due LL (LLR, LRL, RLL) la pallina è più leggera altrimenti è più pesante. Essa sarà A, B o C a seconda che l'esito singolo sia nella prima (RLL, LRR), nella seconda (LRL, RLR) o nella terza pesata (LLR, RRL).

Con analoghi ragionamenti si completa la discriminazione individuando prima il gruppo di provenienza, poi la pallina anomala e il segno dell'anomalia.
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Taifu
Semidio
Semidio


Registrato: 24/10/06 10:13
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MessaggioInviato: 16 Feb 2007 01:12    Oggetto: Rispondi citando

ulisse ha scritto:
Attendo curioso le spiegazioni.


Ed eccole qua le spiegazioni Smile

Cominciamo col dire che 1 vuol dire piatto a sinistra che scende, 2 piatto a destra che scende, X piatti che stanno in equilibrio.

Consideriamo di avere una pallina più pesante: se ottengo tre pesate con risultato 111 allora non devo mai poter ottenere, con questa stessa combinazione di palline sui piatti, qualunque sia quella più pesante, anche 222 altrimenti non potrei distinguere se la pallina è davvero più pesante o piuttosto più leggera.

Facendo lo stesso ragionamento con tutte le altre combinazioni ottengo questa serie di 13 coppie mutuamente esclusive (rimane fuori solo la non significativa XXX):

Codice:
111 222
11X 22X
1X1 2X2
X11 X22
112 221
121 212
211 122
XX1 XX2
X1X X2X
1XX 2XX
12X 21X
1X2 2X1
X12 X21


Da queste 13 coppie scelgo 12 combinazioni in modo da non averne mai due della stessa riga e di avere alla fine un uguale numero di 1 e di 2 per ogni pesata (prima, seconda e terza). Quest'ultima precisazione sarà chiara in seguito.

Una possibile selezione è questa (tra parentesi la combinazione complementare):
Codice:
22X (11X)
2X2 (1X1)
X22 (X11)
121 (212)
211 (122)
XX1 (XX2)
X1X (X2X)
2XX (1XX)
12X (21X)
1X2 (2X1)
X12 (X21)
111 (222)


Ho eliminato le combinazioni 112 e 221.

In questo modo nella prima pesata posso ottenere quattro volte 1, quattro volte 2 e quattro volte X, idem per per seconda e per la terza.

A questo punto comincio a "usare" le palline in modo da soddisfare le diverse combinazioni.

Codice:
22X se la pallina 1 fosse la più pesante andrebbe messa così sui piatti (i puntini sono le altre palline):
 .... 1...
 .... 1...
 .... ....

2X2 pallina 2:
 .... 12..
 .... 1...
 .... 2...

X22 pallina 3:
 .... 12..
 .... 13..
 .... 23..

121 pallina 4:
 4... 12..
 .... 134.
 4... 23..

211 pallina 5:
 4... 125.
 5... 134.
 45.. 23..

XX1 pallina 6:
 4... 125.
 5... 134.
 456. 23..

X1X pallina 7:
 4... 125.
 57.. 134.
 456. 23..

2XX pallina 8:
 4... 1258
 57.. 134.
 456. 23..

1X2 pallina A:
 49A. 1258
 57.. 1349
 456. 23A.

X12 pallina B:
 49A. 1258
 57B. 1349
 456. 23AB

111 pallina C:
 49AC 1258
 57BC 1349
 456C 23AB


Ora, in base al risultato delle tre pesate, posso stabilire univocamente qual'è la pallina più pesante o qual'è la più leggera se ottengo una delle combinazioni complementari.

Al primo tentativo non avevo scelto una serie di combinazioni con uguale numero di 1 e di 2 per cui alla fine mi trovavo dei "buchi" che non riuscivo a riempire, da questo la precisazione dell'uguale numero di 1 e 2.

Sicuramente un metodo poco "matematico" ma che funziona... Smile

'notte.
Marco.
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ulisse
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Residenza: Bagnone (MS)

MessaggioInviato: 17 Feb 2007 15:58    Oggetto: Rispondi

Chiaro ed eccellente!

O'Beirne, avrai notato, si basa sugli stessi principi ma anziché partire dagli esiti delle pesate per poi collocare le palline, fa il contrario.

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