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Taifu
Semidio
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 Inviato: 18 Feb 2007 17:16 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | Un dubbio: ma perchè la "disposizione" di Taifu è la migliore?
Con due dischi è evidente, con tre già si complica...
Qual è il ragionamento che ci porta a quella soluzione (la serie armonica)?
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A questo punto possiamo anche non "spoilerare" più.
Della serie "val più un immagine di mille parole" ecco come MG lo spiega:
Perdonate la qualità da cellulare della foto.
E adesso vediamo un po' chi riesce a dire quanti dischi servono affinché la distanza tra i bordi esterni del primo e dell'ultimo equivalga ad una lunghezza pari o superiore a quattro diametri di disco.
Ciao.
Marco. |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 18 Feb 2007 20:59 Oggetto: |
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Rispondo in tandem a entrambi.
La serie armonica emerge dal calcolo dei baricentri.
Il ragionamento richiede di impilare non depositando un nuovo disco sopra ai precedenti ma infilandocelo sotto.
Poiché vogliamo che la pila abbia la massima inclinazione possibile, il baricentro del nuovo disco che infiliamo sotto sarà sempre a distanza r dal baricentro della struttura già impilata.
Ogni volta che infiliamo un nuovo disco dobbiamo ricalcolare il nuovo baricentro. Se infiliamo un disco sotto a n-1 dischi già impilati il nuovo baricentro se ne starà sul segmento che congiunge il vecchio baricentro col baricentro del disco n (lungo r) a distanza inversamente proporzionale alle masse ovvero il nuovo baricentro disterà r/n dal vecchio.
Complessivamente si ricava che la distanza orizzontale tra i due centri del primo e dell'ultimo disco è
d = r SUM(k = 1 TO n-1)(1/k)
cioè la serie armonica arrestata al termine n-1.
Per k = 7 e r = 20 otteniamo il fatidico 49 calcolato da Taifu.
Se vogliamo ricavare n tale che d >= 8r "basta risolvere" per n intero
8r =< r SUM(k = 1 TO n-1)(1/k)
Ovviamente lasciando i calcoli a Excel si arriva a scoprire che per disassare i centri di almeno 4 volte il diametro servono la bellezza di almeno 1674 dischi!
Beh... visto che una domanda per uno non fa male a nessuno, ecco la mia!
Se gli strumenti di misura a nostra disposizione per realizzare la pila hanno la risoluzione di 1 mm quale deve essere, in mm, il raggio dei dischi per poter realizzare una pila di 1000 dischi? |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 18 Feb 2007 23:14 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | Ovviamente lasciando i calcoli a Excel si arriva a scoprire che per disassare i centri di almeno 4 volte il diametro servono la bellezza di almeno 1674 dischi! |
Compreso il primo a me risultano 1675. Comunque ci siamo intesi 
| ulisse ha scritto: | Beh... visto che una domanda per uno non fa male a nessuno, ecco la mia!
Se gli strumenti di misura a nostra disposizione per realizzare la pila hanno la risoluzione di 1 mm quale deve essere, in mm, il raggio dei dischi per poter realizzare una pila di 1000 dischi? |
Visto che è tardi, ti rispondo da "fetente": un millimetro.
Io la pila la faccio dritta!
Certo non ci deve essere un filo di vento! 
Comunque non è così peregrina come risposta: che percentuale dell'inclinazione vuoi ottenere? Con 0% la mia risposta è giusta.
O non ho capito?
Notte.
Marco. |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 19 Feb 2007 10:00 Oggetto: |
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| Taifu ha scritto: |
Compreso il primo a me risultano 1675. Comunque ci siamo intesi |
 Che pollo che sono!
I dischi sono certamente 1675.
Ho risolto per n - 1 anziché per n !!!
| Taifu ha scritto: | Visto che è tardi, ti rispondo da "fetente": un millimetro.
Io la pila la faccio dritta!
Certo non ci deve essere un filo di vento!
Comunque non è così peregrina come risposta: che percentuale dell'inclinazione vuoi ottenere? Con 0% la mia risposta è giusta.
O non ho capito? |
E per la mia domandina intendevo dire col criterio della massima distanza tra gli assi! |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 19 Feb 2007 10:25 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | E per la mia domandina intendevo dire col criterio della massima distanza tra gli assi! |
Direi 2*4*6*8*10...*998 mm (un po' grossini lo ammetto, non ci stanno nell'universo).
Solo in questo modo avresti la certezza di non avere resti per tutte le divisioni.
Altrimenti dovresti obbligatoriamente approssimare per difetto per non far cadere la pila e a quel punto non otterresti più la distanza massima.
Mi sa che non ho capito nemmeno questa volta vero?
Ciao.
Marco. |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 19 Feb 2007 10:28 Oggetto: |
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| Taifu ha scritto: | | Direi 2*4*6*8*10...*998 mm |
Per la precisione ecco i miillimetri che mi garantiscono zero resti.
| Codice: | >>> y=1
>>> for x in range(2,1000,2):
... y*=x
...
>>> y
399398442654750886130539094463265876949146561273295088414935226446366965378391878667385584793158629764872473010071268723328786767003323434714772137216
005297046885227743536708506479034328334598278577285994051091852807009513837042950476938246165218467079266856474974718272897967300782485394040317478337
946198137759468809430899524969760772757913717860655506921719422236343977822420657843146654419615078427126556112308853802759303355355152940145785364953
577542572931070103507568654736612435505066087915531628866697355374514852059325787560174853260716326078095939461145716182600539002216350038451775660946
474956799525111139821650737358012481517740060172259089315058659035911600898874985176169319068922823800860775522568733792311687270848217500055088976104
393231269219881796557587448208735585495766709385498496316131337618675590043659790336888357595896825673824109403833802179347878839459285452597646011313
895389346020262146141246676740687375355443330475516902518915052731339195969269104845657539480145492619768881861186330087442235891570050468250483068061
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0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000L
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 19 Feb 2007 11:42 Oggetto: |
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premesso che non conosco a fondo, quasi per niente, la teoria degli errori, se ci mettiamo a costruire la pila da 1000 dischi con l'ausilio, p.es., di un metro da muratore e se è lecito fare approssimazioni per difetto, credo che | Citazione: | | poichè la sporgenza minima, quella fra il disco appoggiato sul piano orizzontale e il suo diretto superiore, è pari a d/1998, basta che d/1998 sia maggiore dell'errore cioè di 1 mm. Per cui deve essere d>1998mm e, penso che con dischi di 2 metri si sia sufficientemente tranquilli. |
Però, credo d'aver capito non è così: perchè cerchiamo la "precisione" e quindi ha ragione Taifu. Anche se non capisco il suo range, secondo me
| Citazione: | dovremmo cercare un numero che diviso per tutti gli n compresi fra 2 e 999 non dia resto, ma lui ne indica più del dovuto. Per esempio 8 va bene per la divisione per 2, per 4 e per 8 e lui indica nella "produttoria" sia 2 che 4 che 8....
Io invece direi che per prima cosa bisogna individuare tutti i numeri primi da 2 a 1998 e quindi moltiplicarli tutti fra loro, attribuendo ad ognuno un opportuno esponente. Questo esponente (chiamiamolo k) dovrebbe esser dato dalla parte intera del logaritmo di 1998 in base n (n è un numero primo).
Per esempio: se n=2 k=10 (2^9=1024, ma 2^10=2048)
se n=3 k=6 (3^6=729...), se n=5 k =4; se n=7 k=3; se n=11 k=3,
se n=13 k=2 e così fino a n=43. Per n>= 47 sarebbe k=1. |
Non so, comunque, come scrivere in forma compatta tale mia ipotesi
Ciao
Salmastro |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 19 Feb 2007 12:36 Oggetto: |
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mi accorgo adesso di una imprecisione nella mia ipotesi:
| Citazione: | | e cioè che i numeri da considerare sono solo i pari da 2 a 1998 e che quindi va rivisto l'esponente k da attribuire ai numeri primi: per 2 e 3 va ancora bene, piccole variazioni per gli altri: per 5 k=3, per 7 k=3, per 11 k=2 fino a 31, poi per n>=37 k=1 |
ciao
Salmastro |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 19 Feb 2007 14:44 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | mi accorgo adesso di una imprecisione nella mia ipotesi:
| Citazione: | | e cioè che i numeri da considerare sono solo i pari da 2 a 1998 e che quindi va rivisto l'esponente k da attribuire ai numeri primi: per 2 e 3 va ancora bene, piccole variazioni per gli altri: per 5 k=3, per 7 k=3, per 11 k=2 fino a 31, poi per n>=37 k=1 |
ciao
Salmastro |
Giusto!
Il risultato adesso è molto più "trattabile":
| Codice: | def mcm(x,y):
m = s = max(x, y)
while not ( m % x == 0 and m % y == 0 ) :
m += s
return m
m = 2
for x in range(4, 1998 + 1, 2):
m = mcm(m, x)
print m
|
| Codice: | 142577305493301861063327683114285458413367177237717860809040039823086481751622229989528883038277431738234356340391505130259605281352420185029317420086
102621453725362864003932199497254918743766874100308689050474794905979262913499642564739124656475880221376185246354177239590815824955091160986529514756
59846705503593470496084927276102274068662429563493701756906971356043776150746499843991344113864058198781783374975345395901863207040000
|
Ciao.
Marco. |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 19 Feb 2007 15:55 Oggetto: |
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| Taifu ha scritto: | | ulisse ha scritto: | | E per la mia domandina intendevo dire col criterio della massima distanza tra gli assi! |
Direi 2*4*6*8*10...*998 mm (un po' grossini lo ammetto, non ci stanno nell'universo).
Solo in questo modo avresti la certezza di non avere resti per tutte le divisioni.
Altrimenti dovresti obbligatoriamente approssimare per difetto per non far cadere la pila e a quel punto non otterresti più la distanza massima.
Mi sa che non ho capito nemmeno questa volta vero?
Ciao.
Marco. |
No, no. E' esattamente quello che intendevo!
Poiché dobbiamo essere in grado di misurare con risoluzione di 1 mm tutte le frazioni r/2, ... , r/999 (altrimenti non siamo in grado di collocare correttamente i dischi) è necessario che r sia divisibile per tutti gli interi da 2 a 999.
Dunque è proprio come ipotizzato da voi
r = mcm(2, 3, ... , 998, 999)
(Salmastro non se ne era accorto ma con la sua ipotesi stava ricostruendo il concetto di mcm: tutti i fattori primi comuni e non comuni presi una sola volta e col grado massimo - il k che stava cercando di individuare -).
Stavo provando a fare un po' di conti e mi pare proprio che una prima sgrossatura per ridurre i tempi di calcolo sia la seguente (ipotizzo n pari per non portarmi dietro parti intere):
mcm(2,3, ... , n-2, n-1) = mcm (n/2, n/2+1, ..., n-2, n-1)
Quindi la lunghezza del ciclo iterativo può essere dimezzata.
Non ho capito perché vi occupate solo dei pari. O forse l'ho capito: state ragionando in termini di diametro e non di raggio. Perché vi complicate la vita moltiplicando tutto per due?
Il valore numerico del risultato deve essere un numero spropositato visto che già con 20 dischi il raggio deve essere 232 chilometri, 792 metri e 56 centimetri!
Avevo notato la parola paradosso nella foto postata da Taifu e con la domanda volevo far notare uno degli inconvenienti che impediscono la realizzazione pratica della torre (da cui il paradosso).
L'ultima modifica di ulisse il 19 Feb 2007 16:03, modificato 1 volta |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 19 Feb 2007 15:56 Oggetto: |
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Ha detto Taifu
Il risultato adesso è molto più "trattabile":
gulp!!! 
spero, se l'ipotesi è giusta, che ci sia un modo più compatto per esprimerla!
Ciao
Salmastro |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 19 Feb 2007 16:25 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | Ha detto Taifu
Il risultato adesso è molto più "trattabile":
gulp!!!
spero, se l'ipotesi è giusta, che ci sia un modo più compatto per esprimerla!
Ciao
Salmastro |
Eheh... avevo notato anch'io ma avevo glissato... 
Certo che c'è e implicitamente (annidato nel suo codice) l'ha detto anche lui e ci stavi arrivando anche tu (ti mancava solo da individuare il k e accorgerti che quella da te dichiarata è la procedura di calcolo del mcm) !
r = mcm(2, 3, ... , 998, 999) |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 19 Feb 2007 16:35 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | Stavo provando a fare un po' di conti e mi pare proprio che una prima sgrossatura per ridurre i tempi di calcolo sia la seguente (ipotizzo n pari per non portarmi dietro parti intere):
mcm(2,3, ... , n-2, n-1) = mcm (n/2, n/2+1, ..., n-2, n-1)
Quindi la lunghezza del ciclo iterativo può essere dimezzata. |
| Codice: |
[c:\work\python]timer & python mcm.py & timer
Timer 1 on: 16.17.38
142577305493301861063327683114285458413367177237717860809040039823086481751622229989528883038277431738234356340391505130259605281352420185029317420086
102621453725362864003932199497254918743766874100308689050474794905979262913499642564739124656475880221376185246354177239590815824955091160986529514756
59846705503593470496084927276102274068662429563493701756906971356043776150746499843991344113864058198781783374975345395901863207040000
Timer 1 off: 16.17.39 Elapsed: 0.00.00,78
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Beh, direi che 78 decimi di secondo non necessitano di molte migliorie (il sorgente è nel mio messaggio precedente)
| ulisse ha scritto: | | Non ho capito perché vi occupate solo dei pari. O forse l'ho capito: state ragionando in termini di diametro e non di raggio. Perché vi complicate la vita moltiplicando tutto per due? |
Beh, visto che si parlava di serie armonica 1/2, 1/4, 1/6, allora mi serve un "1" che sia divisibile per 2, 4, 6 etc. etc. fino a 1998.
Tra l'altro ho provato e ho visto che mcm(2,4,6...1998) è doppio di mcm(1,2,3...999).
Questo vuol dire che le nostre ipotesi non sono identiche.
Ho abbiamo ragione io e Sal oppure hai ragione tu 
| ulisse ha scritto: | | Avevo notato la parola paradosso nella foto postata da Taifu e con la domanda volevo far notare uno degli inconvenienti che impediscono la realizzazione pratica della torre (da cui il paradosso). |
Onestamente io credo che il paradosso stia nel fatto che in linea teorica la distanza che si può raggiungere è infinita. Tra l'altro con un semplice mazzo di carte si possono raggiungere le due carte oltre il bordo del tavolo e di sicuro sembra già un bel paradosso a vederlo!
Ciao.
Marco. |
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 19 Feb 2007 16:36 Oggetto: |
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| ulisse ha scritto: | | Eheh... avevo notato anch'io ma avevo glissato... |
Beh? Non si può più fare una battuta in questo forum che ti prendono subito sul serio?
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Taifu
Semidio
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| Inviato: 19 Feb 2007 17:37 Oggetto: |
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| Taifu ha scritto: | Beh, visto che si parlava di serie armonica 1/2, 1/4, 1/6, allora mi serve un "1" che sia divisibile per 2, 4, 6 etc. etc. fino a 1998.
Tra l'altro ho provato e ho visto che mcm(2,4,6...1998) è doppio di mcm(1,2,3...999).
Questo vuol dire che le nostre ipotesi non sono identiche.
Ho abbiamo ragione io e Sal oppure hai ragione tu |
Fermo là! Mi bacchetto da solo!
Tu parlavi di raggio, noi di diametro: è ovvio che la tua misura sia la metà della nostra... |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 19 Feb 2007 19:29 Oggetto: |
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| Taifu ha scritto: | Beh, direi che 78 decimi di secondo non necessitano di molte migliorie (il sorgente è nel mio messaggio precedente)
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In effetti 78 decimi di secondo non sono poi così tanti!
Però, visti i tempi esponenziali dell'algoritmo (si dice che è di classe NP , vero?), per taglie più significative di n=1000 cominciano i guai!
(sempre che a qualcuno venga in mente di provarci con, che so, n= 1000000 !
| Taifu ha scritto: | | Onestamente io credo che il paradosso stia nel fatto che in linea teorica la distanza che si può raggiungere è infinita. Tra l'altro con un semplice mazzo di carte si possono raggiungere le due carte oltre il bordo del tavolo e di sicuro sembra già un bel paradosso a vederlo! |
Ah, ecco. A me era sembrato accettabile a livello teorico (se ci pensi non è molto diverso dal paradosso di Zenone) e quindi avevo attribuito il paradosso all'impossibilità di una sua realizzazione pratica.
Ad ogni modo ecco qua il mio migliore tentativo di allontanarmi dal bordo del tavolo (ho provato a fare di più ma dopo aver raccolto le carte da terra quattro volte ho desistito! ):
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 19 Feb 2007 19:30 Oggetto: |
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| Taifu ha scritto: | | Tu parlavi di raggio, noi di diametro: è ovvio che la tua misura sia la metà della nostra... |
Mi hai anticipato! |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 19 Feb 2007 23:43 Oggetto: |
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...e stamattina, girando il rubinetto col bollino rosso, ho scoperto l'acqua calda...
...un po' dopo, anche il mcm...
ciao, bel 3D: complimenti!!!
Salmastro |
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ulisse
Dio maturo
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| Inviato: 20 Feb 2007 13:26 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ...e stamattina, girando il rubinetto col bollino rosso, ho scoperto l'acqua calda...
...un po' dopo, anche il mcm...
ciao, bel 3D: complimenti!!!
Salmastro |
Eheh!
Comunque il quesito era bello davvero! (come poteva non esserlo visto che MG ci ha messo lo zampino?) |
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