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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
Messaggi: 203
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 Inviato: 14 Mar 2007 19:07 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ...il mio massimo risultato è stato
ottenuto con questo procedimento:
| Citazione: | ho scartato i poligoni regolari, per i quali il rapporto R=S/P è dato da R=a/2 (dove a=apotema; P=n*l; S=(P*a)/2) e tale quantità vale 1/4 (25%) nel caso del cerchio inscritto, che dovrebbe essere il max (....)
Per cui ho operato così: ho ritagliato un triangolino rettangolo ed isoscele in ogni vertice, con cateto pari ad x ed ipotenusa pari a x*sqr(2).
Ho ottenuto un ottagono irregolare, con quattro lati giacenti sui lati del quadrato e gli altri quattro paralleli alle diagonali. Tale ottagono ha il perimetro dato da P=4-8*x+4*x*sqr(2) e l'area data da S=1-4*(x^2/2)=1-2*x^2.
Potremmo studiare la funzione R(x)=S(x)/P(x)...ho preferito tabularla in excel ed ho verificato che il massimo è dato da x=0,15 (circa, un po' di più..per essere "precisi")
Con tale valore di x otteniamo S=0,988 e P=3,648 -->R=0.2617... |
sarà vero...(fra parentesi non so se è il massimo possibile...)
ciao
Salmastro |
Molto bravo Sal, ti sei avvicinato moltissimo alla soluzione ottima 
Sia numericamente che graficamente 
Piccolo suggerimento: | Citazione: | | il nostro contadino ama fare le bolle di sapone |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
Messaggi: 203
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| Inviato: 25 Mar 2007 01:28 Oggetto: |
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Carissimi,
il tempo evidentemente scarseggia per tutti, me compreso.
Volete che posti la soluzione?
Stavolta chiedo onde evitare "cazziate"... 
Ciao.
Marco. |
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Taifu
Semidio
Registrato: 24/10/06 10:13
Messaggi: 203
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| Inviato: 09 Apr 2007 01:38 Oggetto: |
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Ok, visto che non ci sono messaggi nuovi da giorni e giorni, posto la risposta.
| Citazione: | Immaginiamo una bolla che si espande nel quadrato.
La sua forma sarà quella di quattro quarti di cerchio di raggio r agli angoli del quadrato.
L'area di questa forma è: A = 1 + (¶ - 4)r^2
Il perimetro è: P = 2¶r + 4 - 8r
Il rapporto tra i due è: A/P = (1 + (¶ - 4)r^2)/(2¶r + 4 - 8r)
Il valore massimo di questa funzione è assunto con r = 1/(2 + √¶).
In questo caso A/P degenera in r ed è uguale a 0.265079.
Da notare che il rapporto A/P è 0.25 in caso dell'intero quadrato ma anche del cerchio inscritto.
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Mi sembrava un bel problema... 
Ciao.
Marco.
P.S. Il simile problema di massimizzare il rapporto tra volume e superficie di un solido all'interno di un cubo è ancora irrisolto. |
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