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madvero
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Residenza: Ero il maestro Zen. Scrivevo piccole poesie Haiku. Le mandavo a tutti via e-mail.
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 Inviato: 13 Gen 2009 03:20 Oggetto: |
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mi inserisco nella discussione solo per dire che parteciperò quando parleremo del moto delle palle da biliardo sul tavolo verde.
(scherzavo. nel senso: state mirando un po' alto, eh?
complimenti, mi lasciate  ) |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 13 Gen 2009 12:58 Oggetto: |
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ciao, mad 
che piacere rileggerti!
spero che quando apparirà la soluzione rimanga stupita dalla (relativa) semplicità del tutto 
intanto, perchè non ci pensi un po'? |
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madvero
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| Inviato: 13 Gen 2009 13:37 Oggetto: |
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ok, faccio finta di pensarci mentre attendo la soluzione spoilerata.
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Ranger_Trivette
Dio maturo
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| Inviato: 14 Gen 2009 12:58 Oggetto: |
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si ma nella formula fica
G m m
______=f
r
mentre scende la palla variano sia r che g e in più bisogna tener conto che la m che viene tolta genera una seconda forza gravitazionale che tende a rallentare la stessa!
sbaglio? |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 14 Gen 2009 13:56 Oggetto: |
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| Ranger_Trivette ha scritto: | si ma in
G mM
______=f
r^2
1) mentre scende la palla variano sia r che g
2) in più bisogna tener conto che la M che viene tolta genera una seconda forza gravitazionale che tende a rallentare la stessa! sbaglio? |
affermazione 1): correttissima per quanto riguarda r (per la g, se è la costante gravitazionale, no...)
affermazione 2): dubbio fondato! sono proprio gli effetti della massa tolta quelli su cui indagare
N.B.: ho aggiunto nel quote un quadrato al denominatore ed indicato in maiuscolo le grandezze relative alla Terra (solo M, in verità)
P.S.: in buona sostanza hai individuato l'inghippo
quando la palla si trova ad una distanza r (minore di R, raggio terrestre) dal centro della Terra si trova sotto gli effetti gravitazionali di due diverse entità:
1) la sfera "piena" di raggio r
2) la sfera "cava" residua, ottenuta levando la precedente, di raggio esterno R e raggio interno r.
dallo studio dei due effetti balza fuori la, divertente, soluzione |
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Ranger_Trivette
Dio maturo
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| Inviato: 14 Gen 2009 14:43 Oggetto: |
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scusa ho scbagliato! volevo dire che variano sia r che M!
sbagli invece nella storia delle 2 sfere!
non sono 2 sfere ma è una sfera sezionata!
mi spiego meglio, ecco il disegno! 
man mano che la palla scende (punto rosso) seziona la terra in 2 parti.
la parte sopra tenderà a frenarlo, quella sottto ad accelerarlo!
c'è c'entrano la sfere concentriche??? la prova di ciò che dico è che se tu prendi la fettina (a un "de elle" di distanza dal piano della palla) avrà come risultante una forza diretta verso l'alto, siccome i contributi orizzontali saranno tutti compensati! |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 14 Gen 2009 15:21 Oggetto: |
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avevo capito male...
il mio breve acceno alla sfera piena ed alla sfera cava prendilo per un suggerimento operativo, idoneo a semplificare, tantissimo, il problema |
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Ranger_Trivette
Dio maturo
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| Inviato: 14 Gen 2009 18:02 Oggetto: |
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mmm ma entrambe le sfere che dici hanno risultante verso il centro  |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 14 Gen 2009 19:33 Oggetto: |
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| Ranger_Trivette ha scritto: | | mmm ma entrambe le sfere che dici hanno risultante verso il centro |
certo!
(scusami se sono laconico: sto cercando di ristudiare momenti angolari e conservazioni dello stesso per il tuo esame di fisica ) |
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Ranger_Trivette
Dio maturo
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| Inviato: 14 Gen 2009 20:07 Oggetto: |
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non riesco a capire!
senza semplificazioni è parecchio difficile però non capisco le tue semplificazioni! |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 15 Gen 2009 11:46 Oggetto: |
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| Ranger_Trivette ha scritto: | non riesco a capire!
senza semplificazioni è parecchio difficile però non capisco le tue semplificazioni! |
la "ratio" del tutto è che si tratta di un problema a simmetria centrale, per cui è meglio parlare di sfere concentriche (che di piani): quando la palla cade nel tunnel ha di fronte a sè una sfera (piena) di raggio pari alla sua distanza dal centro della terra e dietro di sè una sfera (cava).
assodato questo, è abbastanza agevole proseguire |
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Ranger_Trivette
Dio maturo
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| Inviato: 18 Gen 2009 11:44 Oggetto: |
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si ma i volumi non coincidono!!!
ha davanti a se una sfera piena di raggio pari alla sua distanza dal centro della terra, ok. e dietro una sfera cava??? mindi non ha massa e non genera forze gravitazionali??? |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 18 Gen 2009 13:16 Oggetto: |
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| Ranger_Trivette ha scritto: | si ma i volumi non coincidono!!!
ha davanti a se una sfera piena di raggio pari alla sua distanza dal centro della terra, ok. e dietro una sfera cava??? mindi non ha massa e non genera forze gravitazionali??? |
la somma dei volumi, sì
N.B. sfera piena a massa variabile
sfera cava, idem, ma... |
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Ranger_Trivette
Dio maturo
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| Inviato: 18 Gen 2009 19:44 Oggetto: |
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| ma non ha massa! |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 18 Gen 2009 20:44 Oggetto: |
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| Ranger_Trivette ha scritto: | | ma non ha massa! |
una sfera con un buco al centro?
ce l'ha sì: se la palla si trova a distanza r dal centro è pari a
(4/3)[pi]d(R^3-r^3)
laddove R è il raggio terrestre, d la densità (supposta omogenea) e [pi] sta per pigreco |
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Ranger_Trivette
Dio maturo
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| Inviato: 18 Gen 2009 22:36 Oggetto: |
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ah occhéi! pensavo a un guscio sferico...
ma continuo a no ncapire la tua teoria! la sfera piena ho capito com'è fatta, ma non ho capito allora, quali sono i due raggi interni della sfera vuota! |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 18 Gen 2009 23:50 Oggetto: |
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| Ranger_Trivette ha scritto: | ah occhéi! pensavo a un guscio sferico...
ma continuo a no ncapire la tua teoria! la sfera piena ho capito com'è fatta, ma non ho capito allora, quali sono i due raggi interni della sfera vuota! |
quando la palla si trova ad una distanza r (minore di R, raggio terrestre) dal centro della Terra si trova sotto gli effetti gravitazionali di due diverse entità:
1) la sfera "piena" di raggio r
2) la sfera "cava" residua, ottenuta levando la precedente, di raggio esterno R e raggio internor |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 20 Gen 2009 19:26 Oggetto: |
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mi sembra opportuno partecipare le mie idee...
riepilogando: una palla viene mollata fentro un tunnel scavato nella Terra e passante per il centro di essa. Il quesito era vedere che succede agli antipodi e, visto che c'eravamo, studiare il moto della palla.
come dicevo qualche post fa, quando la palla si trova ad una distanza r (<R raggio terrestre) individua due entità:
1) una sfera piena di raggio r
2) una sfera cava di raggio interno r ed esterno R (in pratica la Terra privata di una sfera concentrica e di raggio r)
si trattava di vedere gli effetti di queste due entità. esaminiamo la sfera cava:
| Citazione: | strano, ma vero, benchè di massa non nulla non esercita alcuna forza sulla palla: per meglio dire, all'interno di una sfera cava - di materiale omogeneo, ovvio - non c'è gravità
una dimostrazione rigorosa di questa asserzione esula dalle mie capacità, nonchè dallo spirito del forum, per cui mi limiterò ad una trattazione "intuitiva".
Allora, consideriamo un corpo, puntiforme, di massa m all'interno della nostra sfera cava, posto nel punto P e consideriamo, della sfera, solo un sottile guscio, di spessore "piccolo", ma non nullo
costruiamo un (doppio) cono con angolo di apertura "piccolo" avente il vertice in P: tale cono intercetterà sul guscio due circonferenze (le precedenti semplificazioni giustificano tale affermazione), che eserciteranno entrambe una certa forza gravitazionale sul nostro corpo, proporzionale alla loro rispettiva massa.
Ma tale massa è proporzionale al loro volume ed il volume è proporzionale all'area delle circonferenze intercettate, tali aree, a loro volta, sono proporzionali al quadrato dei rispettivi raggi delle circonferenze, mentre detti raggi sono proporzionali alla distanza (D) dal punto P al centro delle due circonferenze.
D'altra parte la F di gravità è inversamente proporzionale al quadrato delle reciproche distanze per cui, per le due "massette", si ha che (in modulo)
F=GmM/(D^2) ma poichè M è data da M=K*(D^2), sostituendo otteniamo:
F=GmK*(D^2)/(D^2)=GmK
le due massette, quindi, esercitano sul nostro corpo all'interno della sfera cava forze che hanno la stessa intensità e la stessa direzione, ma verso opposto: in sostanza si annullano!
e lo stesso avviene per ogni coppia di "massette", cosa che intuitivamente equivale a fare l'integrale. |
passiamo ora alla sfera "interna"
| Citazione: | fra essa e la palla si determina una forza pari a:
F=-GmM/(r^2) con M (massa della sfera piena variabile, in funzione di r)
ora si ha M=(4/3)[pi]d*(r^3) dove d è la densità e [pi] è pigreco
sostituendo, per F si ha ---> F=-(Gm)*(4/3)[pi]d*(r^3)/(r^2)
e semplificando F=-K*r (laddove in K abbiamo inglobato tutti i valori costanti della precedente uguaglianza), vale a dire ma=-K*r,
che poichè l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio si può scrivere come ---> r"=-(K/m)r
l'equazione in grassetto, laddove la forza è proporzionale allo "spostamento" (ma di verso contrario) è quella di una molla (o, meglio, di un oscillatore armonico), la cui soluzione è data da una legge oraria del tipo:
r(t)=R*cos(W*t)
dove W ("pulsazione" del moto) è data dalla radice quadrata di K/m |
detto questo, possiamo concludere che:
| Citazione: | la palla all'interno della Terra si comporta come se fosse attaccata ad una molla avente la sua posizione di equilibrio al centro della Terra stessa: oscilla ed avrà, come già segnalato, velocità nulla ai due antipodi e velocità massima quando passa per il centro ed, inoltre, se non la ferma nessuno, continuerà ad andare su e giù indefinitamente.
come curiosità segnalo, infine, che il moto della palla lungo il tunnel è la proiezione di un moto circolare uniforme compiuto lungo un cerchio massimo avente il tunnel come diametro: se, cioè, chi lascia la palla (in origine: il sindaco spagnolo) inforcasse contemporaneamente una bici e si mettesse a girare intorno alla Terra (con opportuna velocità!) la proiezione sul tunnel del suo moto circolare uniforme sarebbe quello della palla: un moto, cosiddetto, "armonico" |
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Ranger_Trivette
Dio maturo
Registrato: 21/08/07 16:11
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| Inviato: 20 Gen 2009 23:13 Oggetto: |
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semplice, no?
| Citazione: | | comunque, secondo te, senza questa approssimazione, il moto resterebbe armonico? |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico
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| Inviato: 20 Gen 2009 23:44 Oggetto: |
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| Ranger_Trivette ha scritto: | semplice, no?
| Citazione: | | comunque, secondo te, senza questa approssimazione, il moto resterebbe armonico? |
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quale, fra le tante? |
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