Olimpo Informatico

[Massive X]

Immaginiamo di avere una sfera rossa di raggio R e un numero indefinito di sfere blu di raggio R.

Quante sfere blu al massimo può toccare contemporaneamente la sfera rossa?
E che figure possono formare i centri di queste sfere blu?

[Salmastro]

...non so ragionare in 3d

per ora so solo che

[Jowex]

Così a naso direi:

[Salmastro]

ho un dubbio...

[Massive X]

Sono curioso di vedere cosa mi tira fuori salmastro con le biglie, intanto inizio a fare il disegno per la risposta e metto una domanda che mi ero dimenticato:

Gonfiando al massimo le sfere (deformabili) che forma assumerebbe quella rossa?

NB: per semplicità immaginiamo una scatola con infinite sfere ad ugual pressione.

[Salmastro]

ovviamente (scovate solo ieri le mie vecchie biglie...) nulla di "strano" è emerso dai miei esperimenti, per cui il numero massimo di sfere (tutte di raggio R) tangenti ad una sfera di raggio R è proprio quello fornito da Jowex

d'altra parte, osservazione che dissipa il mio dubbio di qualche post fa, il problema che stiamo studiando coincide (o almeno così mi pare) con il ricercare il modo più compatto per impacchettare delle sfere.

La soluzione è data dalla "congettura di Keplero", che a tutt'oggi, però, non ha ancora avuta una completa dimostrazione formale, che, si stima, si riuscirà a fornire non prima di una quindicina di anni (fonte: la voce Congettura di Keplero da Wikipedia)

Non rispondo, per ora, all'ultimo quesito di Massive perchè la soluzione non sarebbe farina del mio sacco, avendola letta pari pari in un vecchio articolo del nostro Maestro Giardiniere.

[Massive X]

Eh si, la soluzione è proprio quella di Jowex, per l'ultima mi ci sono dovuto sbattere un po per raffigurarmela mentalmente e poi mi sono accorto che il lavoro era già pronto e con un suo nome, poi magari vi racconto come ci sono arrivato a quella figura.

Se per caso ti trovi qualche documento a riguardo simile a quello dei poliedri che hai postato mi farebbe piacere dagli un'occhiata

[Scrigno]

Allora... se ho ben capito le sfere sono tutte di raggio R quindi uguali... unica cosa che cambia è che una, posta al centro delle altre,. è rossa mentre tutte le altre sono blu...

mumble mumble

[Scrigno]

Allora, se l' immaginazione non mi inganna:

[Salmastro]

@ Scrigno:

aspetto il disegno

(mi eviteresti una scannerizzazione... )

[Scrigno]

[Salmastro]

come minacciato, ho scannerizzato

Metodi di impacchettamento ?ottimali?

Formiamo prima uno strato disposto come mostrato dai cerchi chiari in figura (circonferenze sottili) [vedi QUI ]
Il secondo strato è formato disponendo le palle nei vuoti alternati indicati dai tratteggiati a bordi più scuri.
Nel terzo strato possiamo sceglire fra due procedimenti:
1) disporre ogni palla in un vuoto A direttamente sopra una palla del primo strato: otterremo una disposizione detta ?impacchettamento stretto esagonale? (ogni palla si troverà sopra una palla del penultimo strato)
2) disporre ogni palla in un vuoto B, direttamente sopra ogni vuoto del primo strato, ottenendo un ?impacchettamento stretto cubico? (ogni palla si troverà al di sopra di una palla del terzo strato precedente)

N.B.: la piramide quadrate e la piramide tetraedrica (sistemazione a ?palle di cannone? o ?ad arance?) sono del tipo 2

Espandendo uniformemente le sfere in un recipiente chiuso (o sottoponendole ad una pressione esterna uniforme) accade che ogni sfera, deformandosi, diviene un poliedro, che ha le facce corrispondenti ai piani tangenti nei punti di contatto con le altre sfere.
L?impacchettamento stretto cubico (quello di tipo 2) trasforma ogni sfera in un dodecaedro rombico (vedi figura, in alto), in cui i dodici lati sono rombi congruenti. [figura QUI ]
Quello esagonale (tipo 1) cambia ogni sfera in un in un dodecaedro trapezo-rombico (vedi precedente figura, in basso), sei facce delle quali sono rombiche e sei trapezoidali.

P.S.: in 2D, se dei cerchi a stretto contatto si espandono uniformemente fino a riempire gli spazi fra loro esistenti, il risultato è la nota disposizione a piastrelle esagonali dei pavimenti dei bagni, ovvero quella delle celle delle api!

[Massive X]

Esattamente...

[Salmastro]

..è il mitico Enigmi e giochi matematici dell'altrettanto mitico Martin Gardner, in particolare è il volume III

[Massive X]

[Salmastro]

@ Massive:

confrontando le tue due figure con quelle da me postate, noto una certa differenza nella "risposta al secondo quesito", che per MG, credo, ha sei facce rombiche e sei trapezoidale, mentre per te, mi pare, al posto dei trapezi ci sono dei triangoli

ovviamente, forse mi sbaglio

[Scrigno]

[Massive X]

[Salmastro]

ok, Massive! grazie della precisazione!

al quarto quesito...rinuncio

[Massive X]