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Massive X
Semidio
Registrato: 17/06/08 16:24
Messaggi: 235
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 Inviato: 26 Ott 2009 13:09 Oggetto: |
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| Citazione: |
Spirale mirabils o logaritmica per i non adepti alla setta, ecco un documento esauriente sull'argomento, utile anche a chi volesse cimentarsi nella navigazione dei missili:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Tesine/SpiraleLogaritmica-DeFusco.pdf
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 26 Ott 2009 13:13 Oggetto: |
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| Massive X ha scritto: | | Citazione: |
Spirale mirabils o logaritmica per i non adepti alla setta, ecco un documento esauriente sull'argomento, utile anche a chi volesse cimentarsi nella navigazione dei missili:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Tesine/SpiraleLogaritmica-DeFusco.pdf
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sì, ma perchè proprio questa e non quell'altra ? |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 29 Ott 2009 11:09 Oggetto: |
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mi permetto di insistere:
è vero quello intuito da Jowex e quello che ci dice Massive sulla natura della figura percorsa dalle quattro coccinelle (nel suo link se ne parla a pg.11 e, fra parentesi, a pag. 32 c'è una figura che giustifica il fatto che l'idea di Zeussino non era da buttare  ), ma, mi chiedo, perchè proprio quella è la figura?
perchè proprio la
| Citazione: | | spirale logaritmica, la cui equazione è r = abθ |
e non:
| Citazione: | la spirale archimedea: r = a + bθ oppure
la spirale di Fermat: r = √θ oppure
la spirale iperbolica: r = a/θ oppure
il lituo: r = 1/(θ^1/2) |
Rimane, secondo me, anche irrisolto il quesito sulla lunghezza del percorso, se non sul risultato quantomeno sulla sua giustificazione.
Del caso, prometto di postare la mia idea nel fine settimana  |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 02 Nov 2009 12:53 Oggetto: |
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Espongo, come promesso, le mie idee a riguardo
QUI la mia solita brutta figura...
| Citazione: | come tutti hanno evidenziato, si tratta di un problema a simmetria centrale, laddove il centro di simmetria è quello del quadrato (punto d’incontro delle diagonali) ovvero, ma è la stessa cosa, il centro della circonferenza circoscritta al poligono. In virtù di tale simmetria il percorso di tutti e quattro insetti sarà lo stesso ed è lecito affermare che, istante per istante, essi si troveranno ai vertici di un quadrato (contenuto nel “precedente”) ovvero sulla circonferenza ad esso circoscritta (concentrica alla “precedente”). Che il singolo percorso sia un qualcosa con andamento spiraleggiante e che i quadrati diventino sempre più piccoli sino a “collassare” nel centro è cosa evidente, non altrettanto palese è la natura della spirale ed è quello che cercherò di mostrare, riferendomi alla figura linkata.
All’istante t=0 le coccinelle sono nei vertici A,B,C,D; all’istante t=1 possiamo ritenere che il vettore R (che congiunge A al centro O) sia ruotato di un angolo α. Possiamo ritenere che il movimento di A verso B si svolga lungo il lato AB (corda della circonferenza) e che A si trovi, adesso, nella posizione A’.
Esaminando il triangolo OAA’, si nota che esso è completamente determinato, poiché conosciamo i tre angoli (vedi figura) ed un lato (OA = 10*sqr[2]), da cui otteniamo che R(1)=K*R(0).
Ruotiamo ancora di un angolo α: all’istante t=2, avremo un nuovo triangolo OA’A”, simile al precedente, per il quale R(2)=K*R(1)=R(0)*K^2 e così via.
Per un t generico potremo scrivere che R(t)=R(0)*K^t, che è l’equazione di una spirale logaritmica. |
Per quanto riguarda, invece, la lunghezza del percorso:
| Citazione: | poiché a qualsiasi istante le 4 coccinelle individuano i vertici di un quadrato che si restringe e ruota a mano a mano che si avvicinano tra loro , il percorso di ogni inseguitore sarà sempre perpendicolare a quello dell’inseguito. Questo ci dice che mentre A, per esempio, si avvicina a B non vi è alcuna componente del moto di B che lo avvicini o lo allontani da A (sono moti fra loro perpendicolari); di conseguenza A raggiungerà B nello stesso tempo che occorrerebbe se B rimanesse fermo. La lunghezza di ogni braccio di spirale è la stessa del lato del quadrato: 20 centimetri.
N.B.: tale risultato è vero solo nel caso del quadrato, se le coccinelle fossero N, disposte sui vertici di un poligono di N lati, il risultato non sarebbe pari al lato del poligono, ma, comunque, ad esso proporzionale e dipendente dall’ampiezza degli angoli interni.
Secondo me, magari limitandoci al triangolo, sarebbe un calcolo da fare… |
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