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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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 Inviato: 17 Nov 2009 19:41 Oggetto: Due partite di seguito |
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Ci troviamo a Chicago proprio mentre fervono i festeggiamenti per l’elezione di Ike Eisenhower a Presidente degli USA e, cercando di approfittare della gioia della madre, che simpatizza per l'Old Party, il piccolo Bobby le chiede 5 dollari per andare al cinema il prossimo sabato sera.
La signora Regina, dopo averci pensato un po’ su, così gli risponde:
“Facciamo così. Oggi è martedì, giochiamo una partita a scacchi domani sera, una giovedì ed un’altra venerdì. Tua sorella ed io ci alterneremo come tuoi avversari. Se vinci due partite di seguito avrai i soldi.”
“Con chi giocherò prima, con te o con Joan?” , chiese Bobby.
“Scegli tu!” , disse infine la madre.
Poichè il ragazzo sa che la madre gioca meglio della sorella, per rendere massima la probabilità di vincere due partite, come dovrebbe giocare:
contro madre-sorella-madre o sorella-madre-sorella?
P.S.: inutile aggiungere che Bobby le vinse tutte… |
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Roberto1960
Dio maturo
Registrato: 21/01/08 00:39
Messaggi: 1168
Residenza: Roma
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| Inviato: 19 Nov 2009 17:57 Oggetto: |
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Bello!
Un buon esempio di calcolo delle probabilità.
A prima vista sembrerebbe che la configurazione sorella-madre-sorella sia favorevole al piccolo Bobby, perché così giocherebbe due volte contro la sorella e una sola contro la madre che è più forte.
Tuttavia basta pensarci su un pochino (quanto sia lungo questo "pochino" è del tutto soggettivo...) per capire che le due configurazioni forniscono esattamente la medesima probabilità di vittoria al ragazzo.
P.S.: non è mica che il piccolo Bobby facesse Fischer di cognome? Perché in tal caso se ne sarebbe infischiato dell'ordine delle partite! |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
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| Inviato: 19 Nov 2009 23:59 Oggetto: Re: Due partite di seguito |
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La mia risposta è diversa...
| Citazione: | Per vincere due partite di fila, Bobby deve vincere sicuramente la seconda e almeno una delle altre due. Chiamo:
P1=P3: probabilità di vincere la prima e la terza partita
P2: probabilità di vincere la seconda partita
La probabilità risultante sarà: P = P2 * (P1 + P3 - P1 * P3)
Il termine (P1 * P3) deve essere sottratto a (P1 + P3) perché la vittoria della prima e della terza partita non sono eventi incompatibili.
Svolgendo alcuni passaggi: P = P1*P2 + P2*P3 - P1*P2*P3 = 2*P1*P2 - P1*P2*P1 = P1*P2*(2 - P1)
che risulta maggiore quando (2 - P1) è più grande, ovvero quando P1 è più piccolo, ovvero occorre scegliere P1<P2.
Dato che la madre è più brava, la probabilità di vincere contro di lei è più piccola rispetto alla probabilità di vincere contro la sorella.
Di conseguenza la sequenza più vantaggiosa per Bobby è: madre-sorella-madre. |
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Roberto1960
Dio maturo
Registrato: 21/01/08 00:39
Messaggi: 1168
Residenza: Roma
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| Inviato: 20 Nov 2009 00:43 Oggetto: Re: Due partite di seguito |
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| Jowex ha scritto: | La mia risposta è diversa...
Il termine (P1 * P3) deve essere sottratto a (P1 + P3) perché la vittoria della prima e della terza partita non sono eventi incompatibili...
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Non mi torna.
| Citazione: | Per vincere il "torneo" Bobby deve vincere la 1° partita E la 2° OPPURE la 2° E la 3°, cosa che evidentemente ha la stessa probabilità in entrambe le configurazioni.
Tradotto in calcolo delle probabilità quanto sopra si scrive P = P1 * P2 + P2 * P3 ovvero P = 2 * P1 * P2, che è uguale in entrambe le configurazioni. |
ed inoltre,
| Citazione: | | non capisco da dove viene quel termine P1 * P3 del tuo calcolo. Che vuol dire che la vittoria nella prima e nella terza partita non sono incompatibili? |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
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| Inviato: 20 Nov 2009 20:18 Oggetto: Re: Due partite di seguito |
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| Citazione: | | Roberto1960 ha scritto: | | Non capisco da dove viene quel termine P1 * P3 del tuo calcolo. Che vuol dire che la vittoria nella prima e nella terza partita non sono incompatibili? |
Significa che i due eventi possono verificarsi contemporaneamente (ovvero, pensando a due insiemi, la loro intersezione non è vuota), quindi alla somma delle probabilità (P1+P3) occorre togliere il valore dell'intersezione (P1*P3), che altrimenti verrebbe contata due volte. In altri termini: P(A U B) = P(A)+P(B)-P(A ∩ B)
D'altra parte il risultato P = 2 * P1 * P2 non puo' essere corretto, dato che potrebbe assumere valori maggiori di 1 (per es. se P1=P2=0.9) |
Ovviamente aspettiamo altre risposte e il responso di Salmastro 
PS: dovresti quotare "in bianco" le soluzioni, in modo che vengano viste solo da chi vuole davvero leggerle |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 21 Nov 2009 00:34 Oggetto: |
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| Citazione: | | “Facciamo così. Oggi è martedì, giochiamo una partita a scacchi domani sera, una giovedì ed un’altra venerdì. Tua sorella ed io ci alterneremo come tuoi avversari. Se vinci due partite di seguito avrai i soldi.” |
Il fatto che debbano essere vinte due partite di seguito da luogo a:
| Citazione: |
4 possibili configuarazioni delle coppie di partite possibili:
Madre-Sorella-Madre da luogo alle coppie Madre-Sorella + Sorella-Madre
Sorella-Madre_Sorella da luogo alle coppie Sorella-Madre + Madre-Sorella
Ponendo un probabilità di vittoria uguale ad M per la Madre ed una S per la sorella si hanno :
M * S + S * M nel primo caso
S * M + M * S nel secondo caso
Per la proprietà commutativa S * M = M * S e per la stessa proprietà i due casi diventano identici |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 21 Nov 2009 11:44 Oggetto: |
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Colgo l’invito di Jowex per dire la mia.
Per prima cosa, a lui vanno i miei  ed i miei 
per l’impeccabile soluzione, nonché per la corretta successiva osservazione, che dovrebbe aver fugato i dubbi di Roberto.
Per meglio chiarire la questione a Roberto (ed a Scrigno), mi limiterò ad osservare questo:
| Citazione: | per superare la prova a Bobby basta vincere due partite di seguito, per cui tre sono gli eventi possibili ed a lui favorevoli:
caso a) vincere tutte le partite;
caso b) vincere solo le prime due;
caso c) vincere solo la seconda e la terza.
Sia, come dice Jowex, P(1) la probabilità di vincere la prima ( = P(3), probabilità di vincere la terza) e P(2) quella di vincere la seconda.
Per il caso a), avremo P(a)=P(1)*P(2)*P(3)=P(1)^2*P(2) = [P(1)*P(2)]*P(1)
Per il caso b), si ha: P(b)=P(1)*P(2)*( 1-P(1) ) = P(1)*P(2) – P(1)^2*P(2)=[P(1)*P(2)]*[1-P(1)]
Per il caso c): P(c)=( 1-P(1) )*P(2)*P(1) = P(1)*P(2) – P(1)^2*P(2)=[P(1)*P(2)]*[1-P(1)]
[ nel caso b) in sostanza la P è data dal prodotto delle probabilità di vincere la prima e la seconda partita e di perdere la terza]
Se sommiamo le tre probabilità, avremo:
P(T)=P(a)+P(b)+P(c)=[P(1)*P(2)]*[2-P(1)],
conformemente a quanto scritto da Jowex e in accordo a quanto da lui evidenziato, tanto maggiore è P(T) quanto P(1) è minore, quanto minore è cioè la probabilità che ha Bobby di vincere la prima (e la terza) partita, evento che si verifica quando a giocarle è la madre.
D’altra parte il problema non fornisce dati precisi sulle reali probabilità e, al limite, possiamo anche supporre che Bobby vinca sempre con la scarsa sorella. In tal caso(-limite), è evidente che gli convenga giocare due partite con la madre. |
Con l’occasione, un felice fine settimana a tutti! 
P.S.: leggendo la biografia di Bobby Fisher, che nacque a Chicago nel 1943, non mi sento di escludere che il piccolo Bobby sia proprio lui!  |
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