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Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 29 Nov 2009 19:22 Oggetto: * Il taglio del cubo |
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Un falegname, lavorando con una sega circolare, desidera tagliare un cubo di legno, di tre centimetri di lato, in 27 cubetti da un centimetro.
Potrebbe farlo assai facilmente con sei tagli, mantenendo i pezzi sempre in modo di conservare la forma cubica (cioè, dopo ogni taglio continua a tenere unita la struttura, così com'era all'inizio).
E' possibile ridurre il numero di tagli necessari risistemando i pezzi dopo ogni taglio? |
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 29 Nov 2009 23:16 Oggetto: |
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| Citazione: | L' intero è 1 ed i pezzi devono diventare 27
Considerando che ogni taglio divide in due parti ogni pezzo e che mettendo inpilati i pezzi sotto la sega ogni volta il loro numero raddoppia avrò che per raggiungere 27 pezzi avrò bisogno di almeno 5 tagli perchè i pezzi che, al massimo si formano, sono 2^(numero di tagli)
con 2^4 = 16 (pochi)
con 2^5 = 32 (abbastanza da contenere 27)
Visto che tu vuoi un numero minore di 6 allora i tagli saranno 5 ma andiamo a vedere come diavolo vanno impilati 
Adesso vedo di consumare un pò di carta
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Sir Jo
Mortale pio
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| Inviato: 29 Nov 2009 23:54 Oggetto: |
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| Citazione: | | secondo me no; scusate per la gif di cui sotto (fa schifo); essa mostra i risultati, secondo me massimi, dei tagli, dal primo al quinto, da cui mi sembra si possa dedurre che occorrono sempre 6 tagli |
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 30 Nov 2009 00:49 Oggetto: |
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Porcaccia la miseriaccia.. stafvo andando a RIeditare
Comunque...
Ecco la soluzione:
Non chiedetemi quale branca della matematica tratta sta roba perchè non lo so e quindi prendetevi il tempo che vi serve per tradurre la MIA notazione 
A parte gli scherzi spero si capisca:
| Citazione: |
Il ramo della matematica che studia questa cosa non lo conosco ma una cosa è certa:
L' effetto di un taglio con l' uso di una lama (un piano) applicato ad un oggetto a 3 dimensioni (il nostro cubo); ha effetto su UNA SOLA dimensione per volta.
Detto quanto sopra e considerando che:
il nostro Cubo:
C={3;3;3} (fatto da un unico pezzo di lato 3, alto 3 e profondo 3)
E' in volume identico a:
C= 27 * {1;1;1} (27 cubetti di lato 1, alti 1 e profondi 1)
Si ha che per arrivare ai 27 cubetti
C={3;3;3} = {3;1;3} + {3;2;3} = {1;1;3}+{2;1;3}+{2;2;3}+{1;2;3} = 27* {1;1;1}
....
- Ogni parentesi graffa è un pezzo di legno.
- Un taglio è applicabile ad OGNI ADDENDO dell' equazione purchè questo abbia ALMENO un valore maggiore di 1
- Un taglio, all' interno della graffa (del pezzo) è applicabile ad UNO solo dei valori per volta
- una graffa tagliata da luogo a DUE graffe dove, nel posto del valore al quale è stato applicato il taglio si avranno due valori che sommati danno il vecchio valore.
Esempio
{3;3;3} = {2;3;3}+{1;3;3}
si arriva a costruire tutta la sequenza di tagli del nostro cubo fino ad arrivare ai cubetti:
1° taglio {3;3;3} = {1;3;3}+{2;3;3}
2° taglio {1;3;3}{2;3;3}={1;1;3}{1;2;3}{1;3;3}{1;3;3}
Come si può notare il taglio non ha effetto sui valori che hanno gia raggiunto il valore "1"
.... gia al quarto taglio si hanno 15 elementi al posto di 16 ed al quinto si hanno ancora elementi della forma {1;1;2} ai quali è applicabile ancora un taglio sul terzo valore (di fatto sono parallelepipedi di lato 1, alti 1 e profondi 2)
la formuletta, guardando l'elemento {3;3;3} del nostro cubo intero, mi viene dapensare che sia
TAGLI COMPLESSIVI = Somma dei tagli possibili su ogni dimensione
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Sir Jo
Mortale pio
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| Inviato: 30 Nov 2009 00:51 Oggetto: |
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| Scrigno ha scritto: | | Citazione: | L' intero è 1 ed i pezzi devono diventare 27
Considerando che ogni taglio divide in due parti ogni pezzo e che mettendo inpilati i pezzi sotto la sega ogni volta il loro numero raddoppia avrò che per raggiungere 27 pezzi avrò bisogno di almeno 5 tagli perchè i pezzi che, al massimo si formano, sono 2^(numero di tagli)
con 2^4 = 16 (pochi)
con 2^5 = 32 (abbastanza da contenere 27)
Visto che tu vuoi un numero minore di 6 allora i tagli saranno 5 ma andiamo a vedere come diavolo vanno impilati
Adesso vedo di consumare un pò di carta
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| Citazione: | | secondo me il tuo ragionamento sarebbe valido se si richiedesse semplicemente di ottenere 27 pezzi da 1, ma forse (dico forse perchè sono l'ultimo arrivato e non ho certezze) non lo è nel caso si debbano ottenere 27 cubetti di lato 1; voglio dire che tra i pezzi che tu impileresti c'è anche la possibilità che vi sia un cubetto di lato 1 che, come tale, non deve essere ulteriormente diviso.. |
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 30 Nov 2009 00:58 Oggetto: |
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Non ho avuto il tempo di corregger il 3D
SAL se riesci mettilo apposto tu
... Stavo appunto aggiungendo delle cose per dimostrare che .. vabbè 
Qando smettero di correre e fare popò allora, forse, smetterò di sporcarmi i garretti
| Citazione: | Numero minimo di tagli = Somma dei tagli di ogni dimensione.
nel caso di C={3,3,3} ogni dimensione può avere al max 2 tagli
quindi Nm= 2+2+2 = 6
Se il solido fosse stato S={1,2,2} Nm= 0 + 1 + 1 = 2
Se fosse stato S= {3;3;4} Nm = 2+2+3 = 7
Si fa notare che nel nostro caso il numero dei tagli per dimensione è = al valore dimensionale -1 |
| Citazione: |
Affermerei anche che il maggior numero di elementi con il minor numero di tagli lo si ottiene quando le N-dimensioni hanno valore identico ed il numero di tagli così diventa:
(N-dimensioni ) * (ValoreDimensionale - 1) |
@ Sir Jo....
Scusami
Solo che sono sempre frettoloso.. Non è certo colpa tua |
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 30 Nov 2009 01:11 Oggetto: |
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| Sir Jo ha scritto: |
secondo me il tuo ragionamento sarebbe valido se si richiedesse semplicemente di ottenere 27 pezzi da 1, ma forse (dico forse perchè sono l'ultimo arrivato e non ho certezze) non lo è nel caso si debbano ottenere 27 cubetti di lato 1; voglio dire che tra i pezzi che tu impileresti c'è anche la possibilità che vi sia un cubetto di lato 1 che, come tale, non deve essere ulteriormente diviso..
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Infatti ho cercato di inventarmi qualcosa che sicuramente qualcuno prima di me avra scritto meglio che cercasse di tener conto di questo fatto ed anche ammettendo che ci sia riuscito direi che ho combinato, come al solito, un bel casotto |
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Sir Jo
Mortale pio
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| Inviato: 30 Nov 2009 01:19 Oggetto: |
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| Scrigno ha scritto: | | Sir Jo ha scritto: |
secondo me il tuo ragionamento sarebbe valido se si richiedesse semplicemente di ottenere 27 pezzi da 1, ma forse (dico forse perchè sono l'ultimo arrivato e non ho certezze) non lo è nel caso si debbano ottenere 27 cubetti di lato 1; voglio dire che tra i pezzi che tu impileresti c'è anche la possibilità che vi sia un cubetto di lato 1 che, come tale, non deve essere ulteriormente diviso..
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Infatti ho cercato di inventarmi qualcosa che sicuramente qualcuno prima di me avra scritto meglio che cercasse di tener conto di questo fatto ed anche ammettendo che ci sia riuscito direi che ho combinato, come al solito, un bel casotto |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 30 Nov 2009 10:58 Oggetto: |
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siamo sulla buona strada e, secondo me, queste due osservazioni di Scrigno (tratte da post diversi) sono fondamentali:
| Scrigno ha scritto: | L' intero è 1 ed i pezzi devono diventare 27
Considerando che ogni taglio divide in due parti ogni pezzo e che mettendo impilati i pezzi sotto la sega ogni volta il loro numero raddoppia (Nota di salmastro.: è meglio dire che al più raddoppia…)avrò che per raggiungere 27 pezzi avrò bisogno di almeno 5 tagli perché i pezzi che, al massimo si formano, sono 2^(numero di tagli)
con 2^4 = 16 (pochi)
con 2^5 = 32 (abbastanza da contenere 27)
Visto che tu vuoi un numero minore di 6 allora i tagli saranno 5 ma andiamo a vedere come diavolo vanno impilati
***
L' effetto di un taglio con l' uso di una lama (un piano) applicato ad un oggetto a 3 dimensioni (il nostro cubo); ha effetto su UNA SOLA dimensione per volta. |
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 30 Nov 2009 18:11 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | siamo sulla buona strada e, secondo me, queste due osservazioni di Scrigno (tratte da post diversi) sono fondamentali:
| Scrigno ha scritto: |
... ....
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Da quello che affermi direi che: | Citazione: | | Cerchi una risposta più di logica che matematica |
Mettendo insieme le due cose... Muble muble muble...
| Citazione: | -Il cubo a 3 dimensioni
-i tagli sono 2 per dimensione
-il tagliare ha effetto su una sola dimensione per volta
di fatto ho 6 tagl.. .. 6 tagli...  6 facce ...
Tutti i cubetti che saltano fuori hanno in comune la faccia esterna al cubo; tutti tranne uno, quello centrale, quello alle coordinate [2,2,2]
Se immaginassimo il Cubone un bel formaggio con la crosta ed il cubetto centrale lo stesso pezzo di formaggio ma SENZA crosta; per averlo avremmo bisogno di applicare, con il colotello, un taglio lungo OGNI sua faccia per togliere tutta la crosta ed essendo 6 le facce del cubo allora saranno 6 i tagli da applicare. |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 01 Dic 2009 18:29 Oggetto: |
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...e bravo Scrigno!!!  
infatti:
| Citazione: | non c'è alcun modo di ridurre i tagli a meno di sei.
Come osserva Scrigno, lo si vede subito ponendo attenzione al fatto che un cubo ha sei lati: la sega fa tagli netti e per ricavare il cubetto posto al centro, che non ha, al principio, superfici "libere", occorre fare sei passaggi di sega.
P.S..: i cubi 2x2x2 e 3x3x3 (il nostro) sono "unici" , nel senso che, comunque vengono sistemati i pezzi ottenuti da ogni taglio prima del successivo, il primo richiederà sempre 3 tagli ed il secondo 6 per essere ridotto in cubi unitari. |
Ora mi chiedo: che succede col cubo 4x4x4? ed ancora, possiamo generalizzare? |
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 01 Dic 2009 20:21 Oggetto: |
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| salmastro ha scritto: | ...e bravo Scrigno!!!
infatti:
| Citazione: | non c'è alcun modo di ridurre i tagli a meno di sei.
Come osserva Scrigno, lo si vede subito ponendo attenzione al fatto che un cubo ha sei lati: la sega fa tagli netti e per ricavare il cubetto posto al centro, che non ha, al principio, superfici "libere", occorre fare sei passaggi di sega.
P.S..: i cubi 2x2x2 e 3x3x3 (il nostro) sono "unici" , nel senso che, comunque vengono sistemati i pezzi ottenuti da ogni taglio prima del successivo, il primo richiederà sempre 3 tagli ed il secondo 6 per essere ridotto in cubi unitari. |
Ora mi chiedo: che succede col cubo 4x4x4? ed ancora, possiamo generalizzare? |
Sal.
Io sono evidentemente ancora più schiappa di qiello che credevo nel cercare di comunicare al prossimo quello che penso...
Quanto da me detto sopra, era appunto una generalizzazione...
| Citazione: | Con le stesse limitazioni dettate per il primo cubo nominato un qualsiasi solido-Parallelepipedo del tipo h*l*p dove h= altezza; l = lunghezza; p= profondità avrà bisogno per essere diviso nelle sue unità (batteziamole come fondamentali) di un numero di tagli Nt pari a:
Nt= (h-1)+(l-1)+(p-1)
Se si vuol generalizzare anche il numero delle dimensioni; non so scriverlo in matematichese ma di fatto il valore dato, è la somma dei valori di ogni dimensione meno il numero delle dimensioni.
Difatti:
il cubo 3x3x3 ha 6 tagli il che è = (3-1)+(3-1)+(3-1)=(3+3+3)-3
il cubo 2x2x2 ha 3 tagli il che è = (2-1)+(2-1)+(2-1)=(2+2+2)-3
il cubo 4x4x4 essendo = (4-1)+(4-1)+(4-1) = (4+4+4)-3 Risulterà appunto dall' azione di 9 tagli minimo. |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 01 Dic 2009 20:39 Oggetto: |
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| Scrigno ha scritto: | | Quanto da me detto sopra, era appunto una generalizzazione... |
sì, ma non è una "buona" (nel senso di ottimale) generalizzazione  |
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Sir Jo
Mortale pio
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| Inviato: 01 Dic 2009 22:02 Oggetto: |
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Possiamo esprimere la generalizzazione forse anche in questo modo?
| Citazione: | Allora: Nt=3*Ncd+3*Ncim dove 3 sono le dimensioni spaziali, Ncd è il numero di cubi divisibili (il solo cubo 1*1*1 nel nostro ragionamento non lo è) considerando quindi anche i cubi interni (per es. il cubo 3*3*3 ha un cubo interno 1*1*1, quello 5*5*5 ha internamente un cubo 3*3*3 che a sua volta contiene un cubo 1*1*1) e Ncim è il numero di cubi interni "multicubetto" ovvero di dimensioni superiori a 1*1*1 (ad esempio un cubo 7*7*7 ha Ncim=2 ovvero il cubo 5*5*5 e quello 3*3*3)
Proviamo ad applicare la "formula" su un cubo 6*6*6
Nt=(3*3)+(3*2)=15
Proviamo con un cubo 7*7*7
Nt=(3*4)+(3*2)=18
Proviamo con un cubo 2*2*2
Nt=(3*1)+3*0=3
Lo so, è un po' arzigogolata, ma funziona! |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 01 Dic 2009 23:26 Oggetto: Re: Il taglio del cubo |
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forse è sfuggita questa parte della domanda:
| Citazione: | | E' possibile ridurre il numero di tagli necessari risistemando i pezzi dopo ogni taglio? |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
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| Inviato: 02 Dic 2009 01:26 Oggetto: Re: Il taglio del cubo |
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| salmastro ha scritto: | forse è sfuggita questa parte della domanda:
| Citazione: | | E' possibile ridurre il numero di tagli necessari risistemando i pezzi dopo ogni taglio? |
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Riguardo a questo:
Prima di tutto mettiamo qualche paletto e poi, se vorrai li togliamo un poco alla volta... Cerchiamo di andare avanti un paio di passi alla volta ma non di più.
Siamo partiti da un cubo che ha la caratteristica, come il parallelepipedo di non avere cavità o concavità e le sue facce sono ortogonali fra loro.
Non essendo sicuro di essermi spiegato come si deve dico che le figure che stiamo studiando noi ora sono di questo tipo e NON di questo.
il nostro tipo di solido lo nomineremo solido ortogonale
Allo stesso tempo abbiamo parlato di tagli che si applicano perpendicolarmente ad una faccia, oppure, volendo, dirlo in altro modo, parallelamente ad una faccia. Questo tipo particolare di taglio lo nomineremo taglio perpendicolare
Questi due paletti mi daranno SEMPRE sezioni di taglio RETTANGOLARI.
Generalizzando potremmo immaginare di avere un solido "S" del tipo come sopra e di volerlo spezzare in un certo numero "n" di pezzi sempre come descritto sopra. Per fare ciò vorremmo poter sapere il minimo numero di tagli da applicare e com edoverli applicare.
...
Sono un pò stancotto e quindi rimando a domani un altro pò di testo comunque la strada da percorrere è questa:
il minimo numero di tagli è tenendo il solido composto ed applicando un certo numero di tagli su ogni dimensione (sulle tre facce ortogonali fra loro) in modo che il prodotto del numero delle parti di ogni faccia sia uguale al numero di pezzi da formare.
Questo è sempre vero se non si tiene conto della cubicità dei pezzi risultanti altrimenti è vero solo quando, oltre a quanto detto sopra è anche vero che il rapporto tra le tre dimensione è uguale al rapporto tra i numeri delle parti per dimensione. (nel nostro caso è semplice perchè il cubo misurava 3*3*3 ed era da dividere in 3*3*3 quindi:
il rapporto delle tre dimensioni 3/3/3 = 3/3/3 il rapporto delle parti per dimensione)
...
Credo proprio si ameglio ceh vado a letto perchè scrivo peggio del solito |
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Salmastro
Dio minore
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| Inviato: 02 Dic 2009 18:19 Oggetto: Re: * Il taglio del cubo |
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per non indurre in errore Scrigno (e per meglio spiegarmi), riformulo la questione:
Un falegname, lavorando con una sega circolare, desidera tagliare un cubo di legno, di quattro centimetri di lato, in 64 cubetti da un centimetro.
Potrebbe farlo assai facilmente con nove tagli, mantenendo i pezzi sempre in modo di conservare la forma cubica (cioè, dopo ogni taglio continua a tenere unita la struttura, così com'era all'inizio).
E' possibile ridurre il numero di tagli necessari risistemando i pezzi dopo ogni taglio? |
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
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| Inviato: 02 Dic 2009 19:42 Oggetto: Re: * Il taglio del cubo |
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Generalizzando a un cubo di dimensioni NxNxN, il numero minimo di tagli necessari è
| Citazione: | T = 3 * ceil(log2(N))
dove log2 è il logaritmo in base 2
e ceil è la funzione di arrotondamento all'unità superiore.
- Per un cubo 2x2x2 servono 3 tagli paralleli ai tre assi (ovvio).
- Per un cubo 3x3x3 servono 6 tagli (già dimostrato).
- Un cubo 4x4x4 puo' essere separato in 8 cubi 2x2x2 usando 3 tagli, dopo di che per ogni cubetto servono 3 tagli (vedi sopra). Tuttavia, dato che i cubi possono essere risistemati, basteranno in tutto 3 tagli paralleli ai tre assi. Quindi il totale è T=3+3
- Un cubo 5x5x5 puo' essere separato usando 3 tagli in un cubo 3x3x3, uno 2x2x2, e altri 6 parallelepipedi con lato massimo lungo 3. Di conseguenza basta considerare solo il cubo 3x3x3, perché tutti gli altri solidi possono essere contenuti in questo. Quindi il totale è T=3+6=9, dove il 3 è dovuto ai tre tagli iniziali e il 6 è dovuto al cubo 3x3x3.
- Proseguendo, il metodo consiste sempre nello scomporre ogni cubo in cubetti di dimensione minore usando tre tagli ortogonali tra loro. Quando la dimensione N supera una potenza di 2, sono necessari 3 tagli in più rispetto al cubo di lato N-1. |
come esempi:
| Citazione: | N=2 -> T=3
N=3 -> T=6
N=4 -> T=6
N=5 -> T=9
N=6 -> T=9
N=7 -> T=9
N=8 -> T=9
N=9 -> T=12
N=10 -> T=12
N=11 -> T=12
N=12 -> T=12
N=13 -> T=12
N=14 -> T=12
N=15 -> T=12
N=16 -> T=12
N=17 -> T=15
...
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Scrigno
Semidio
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| Inviato: 02 Dic 2009 22:50 Oggetto: Re: * Il taglio del cubo |
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| salmastro ha scritto: | per non indurre in errore Scrigno (e per meglio spiegarmi), riformulo la questione:
Un falegname, lavorando con una sega circolare, desidera tagliare un cubo di legno, di quattro centimetri di lato, in 64 cubetti da un centimetro.
Potrebbe farlo assai facilmente con nove tagli, mantenendo i pezzi sempre in modo di conservare la forma cubica (cioè, dopo ogni taglio continua a tenere unita la struttura, così com'era all'inizio).
E' possibile ridurre il numero di tagli necessari risistemando i pezzi dopo ogni taglio? |
Secondo quello che ho cercato di dire sopra:
| Citazione: | | NO! in quanto il metodo usato dal falegname normalmente (cioè, dopo ogni taglio continua a tenere unita la struttura, così com'era all'inizio) è il metodo in cui si usano il minor numero di tagli possibili. |
.... Forse mi spiego male io, forse non mi capisci tu o forse non capisco un emerito tubo io
Vado a leggermi Jovex nella speranza di avere delle news |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 03 Dic 2009 23:48 Oggetto: |
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innanzitutto, scusate il ritardo 
poi, bravo Jowex, che ci ha fornito proprio la generalizzazione che cercavo
mi limito solo ad aggiungere una formuletta, del tutto analoga a quella da lui postata, ma che, magari, scritta così potrà risultare più chiara a molti (me compreso):
| Citazione: | per un cubo NxNxN il numero minimo di tagli (dando la posiibilità, naturalmente, di risistemare i pezzi dopo ogni taglio)è dato da 3K, ove K è individuato dalla seguente relazione
2^(K) >= N > 2^(K-1) |
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