non c'è alcun modo di ridurre i tagli a meno di sei.
Come osserva Scrigno, lo si vede subito ponendo attenzione al fatto che un cubo ha sei lati: la sega fa tagli netti e per ricavare il cubetto posto al centro, che non ha, al principio, superfici "libere", occorre fare sei passaggi di sega.
P.S..: i cubi 2x2x2 e 3x3x3 (il nostro) sono "unici" , nel senso che, comunque vengono sistemati i pezzi ottenuti da ogni taglio prima del successivo, il primo richiederà sempre 3 tagli ed il secondo 6 per essere ridotto in cubi unitari.
Ora mi chiedo: che succede col cubo 4x4x4? ed ancora, possiamo generalizzare?
non c'è alcun modo di ridurre i tagli a meno di sei.
Come osserva Scrigno, lo si vede subito ponendo attenzione al fatto che un cubo ha sei lati: la sega fa tagli netti e per ricavare il cubetto posto al centro, che non ha, al principio, superfici "libere", occorre fare sei passaggi di sega.
P.S..: i cubi 2x2x2 e 3x3x3 (il nostro) sono "unici" , nel senso che, comunque vengono sistemati i pezzi ottenuti da ogni taglio prima del successivo, il primo richiederà sempre 3 tagli ed il secondo 6 per essere ridotto in cubi unitari.
Ora mi chiedo: che succede col cubo 4x4x4? ed ancora, possiamo generalizzare?
Sal.
Io sono evidentemente ancora più schiappa di qiello che credevo nel cercare di comunicare al prossimo quello che penso...
Quanto da me detto sopra, era appunto una generalizzazione...
Citazione:
Con le stesse limitazioni dettate per il primo cubo nominato un qualsiasi solido-Parallelepipedo del tipo h*l*p dove h= altezza; l = lunghezza; p= profondità avrà bisogno per essere diviso nelle sue unità (batteziamole come fondamentali) di un numero di tagli Nt pari a:
Nt= (h-1)+(l-1)+(p-1)
Se si vuol generalizzare anche il numero delle dimensioni; non so scriverlo in matematichese ma di fatto il valore dato, è la somma dei valori di ogni dimensione meno il numero delle dimensioni.
Difatti:
il cubo 3x3x3 ha 6 tagli il che è = (3-1)+(3-1)+(3-1)=(3+3+3)-3
il cubo 2x2x2 ha 3 tagli il che è = (2-1)+(2-1)+(2-1)=(2+2+2)-3
il cubo 4x4x4 essendo = (4-1)+(4-1)+(4-1) = (4+4+4)-3 Risulterà appunto dall' azione di 9 tagli minimo.
Registrato: 24/11/09 18:16 Messaggi: 21 Residenza: Napoli
Inviato: 01 Dic 2009 22:02 Oggetto:
Possiamo esprimere la generalizzazione forse anche in questo modo?
Citazione:
Allora: Nt=3*Ncd+3*Ncim dove 3 sono le dimensioni spaziali, Ncd è il numero di cubi divisibili (il solo cubo 1*1*1 nel nostro ragionamento non lo è) considerando quindi anche i cubi interni (per es. il cubo 3*3*3 ha un cubo interno 1*1*1, quello 5*5*5 ha internamente un cubo 3*3*3 che a sua volta contiene un cubo 1*1*1) e Ncim è il numero di cubi interni "multicubetto" ovvero di dimensioni superiori a 1*1*1 (ad esempio un cubo 7*7*7 ha Ncim=2 ovvero il cubo 5*5*5 e quello 3*3*3)
Proviamo ad applicare la "formula" su un cubo 6*6*6
Nt=(3*3)+(3*2)=15
Inviato: 02 Dic 2009 01:26 Oggetto: Re: Il taglio del cubo
salmastro ha scritto:
forse è sfuggita questa parte della domanda:
Citazione:
E' possibile ridurre il numero di tagli necessari risistemando i pezzi dopo ogni taglio?
Riguardo a questo:
Prima di tutto mettiamo qualche paletto e poi, se vorrai li togliamo un poco alla volta... Cerchiamo di andare avanti un paio di passi alla volta ma non di più.
Siamo partiti da un cubo che ha la caratteristica, come il parallelepipedo di non avere cavità o concavità e le sue facce sono ortogonali fra loro.
Non essendo sicuro di essermi spiegato come si deve dico che le figure che stiamo studiando noi ora sono di questo tipo e NON di questo.
il nostro tipo di solido lo nomineremo solido ortogonale
Allo stesso tempo abbiamo parlato di tagli che si applicano perpendicolarmente ad una faccia, oppure, volendo, dirlo in altro modo, parallelamente ad una faccia. Questo tipo particolare di taglio lo nomineremo taglio perpendicolare
Questi due paletti mi daranno SEMPRE sezioni di taglio RETTANGOLARI.
Generalizzando potremmo immaginare di avere un solido "S" del tipo come sopra e di volerlo spezzare in un certo numero "n" di pezzi sempre come descritto sopra. Per fare ciò vorremmo poter sapere il minimo numero di tagli da applicare e com edoverli applicare.
...
Sono un pò stancotto e quindi rimando a domani un altro pò di testo comunque la strada da percorrere è questa:
il minimo numero di tagli è tenendo il solido composto ed applicando un certo numero di tagli su ogni dimensione (sulle tre facce ortogonali fra loro) in modo che il prodotto del numero delle parti di ogni faccia sia uguale al numero di pezzi da formare.
Questo è sempre vero se non si tiene conto della cubicità dei pezzi risultanti altrimenti è vero solo quando, oltre a quanto detto sopra è anche vero che il rapporto tra le tre dimensione è uguale al rapporto tra i numeri delle parti per dimensione. (nel nostro caso è semplice perchè il cubo misurava 3*3*3 ed era da dividere in 3*3*3 quindi:
il rapporto delle tre dimensioni 3/3/3 = 3/3/3 il rapporto delle parti per dimensione)
...
Credo proprio si ameglio ceh vado a letto perchè scrivo peggio del solito
Inviato: 02 Dic 2009 18:19 Oggetto: Re: * Il taglio del cubo
per non indurre in errore Scrigno (e per meglio spiegarmi), riformulo la questione:
Un falegname, lavorando con una sega circolare, desidera tagliare un cubo di legno, di quattro centimetri di lato, in 64 cubetti da un centimetro.
Potrebbe farlo assai facilmente con nove tagli, mantenendo i pezzi sempre in modo di conservare la forma cubica (cioè, dopo ogni taglio continua a tenere unita la struttura, così com'era all'inizio).
E' possibile ridurre il numero di tagli necessari risistemando i pezzi dopo ogni taglio?
Inviato: 02 Dic 2009 19:42 Oggetto: Re: * Il taglio del cubo
Generalizzando a un cubo di dimensioni NxNxN, il numero minimo di tagli necessari è
Citazione:
T = 3 * ceil(log2(N))
dove log2 è il logaritmo in base 2
e ceil è la funzione di arrotondamento all'unità superiore.
- Per un cubo 2x2x2 servono 3 tagli paralleli ai tre assi (ovvio).
- Per un cubo 3x3x3 servono 6 tagli (già dimostrato).
- Un cubo 4x4x4 puo' essere separato in 8 cubi 2x2x2 usando 3 tagli, dopo di che per ogni cubetto servono 3 tagli (vedi sopra). Tuttavia, dato che i cubi possono essere risistemati, basteranno in tutto 3 tagli paralleli ai tre assi. Quindi il totale è T=3+3
- Un cubo 5x5x5 puo' essere separato usando 3 tagli in un cubo 3x3x3, uno 2x2x2, e altri 6 parallelepipedi con lato massimo lungo 3. Di conseguenza basta considerare solo il cubo 3x3x3, perché tutti gli altri solidi possono essere contenuti in questo. Quindi il totale è T=3+6=9, dove il 3 è dovuto ai tre tagli iniziali e il 6 è dovuto al cubo 3x3x3.
- Proseguendo, il metodo consiste sempre nello scomporre ogni cubo in cubetti di dimensione minore usando tre tagli ortogonali tra loro. Quando la dimensione N supera una potenza di 2, sono necessari 3 tagli in più rispetto al cubo di lato N-1.
Inviato: 02 Dic 2009 22:50 Oggetto: Re: * Il taglio del cubo
salmastro ha scritto:
per non indurre in errore Scrigno (e per meglio spiegarmi), riformulo la questione:
Un falegname, lavorando con una sega circolare, desidera tagliare un cubo di legno, di quattro centimetri di lato, in 64 cubetti da un centimetro.
Potrebbe farlo assai facilmente con nove tagli, mantenendo i pezzi sempre in modo di conservare la forma cubica (cioè, dopo ogni taglio continua a tenere unita la struttura, così com'era all'inizio).
E' possibile ridurre il numero di tagli necessari risistemando i pezzi dopo ogni taglio?
Secondo quello che ho cercato di dire sopra:
Citazione:
NO! in quanto il metodo usato dal falegname normalmente (cioè, dopo ogni taglio continua a tenere unita la struttura, così com'era all'inizio) è il metodo in cui si usano il minor numero di tagli possibili.
.... Forse mi spiego male io, forse non mi capisci tu o forse non capisco un emerito tubo io
Vado a leggermi Jovex nella speranza di avere delle news
poi, bravo Jowex, che ci ha fornito proprio la generalizzazione che cercavo
mi limito solo ad aggiungere una formuletta, del tutto analoga a quella da lui postata, ma che, magari, scritta così potrà risultare più chiara a molti (me compreso):
Citazione:
per un cubo NxNxN il numero minimo di tagli (dando la posiibilità, naturalmente, di risistemare i pezzi dopo ogni taglio)è dato da 3K, ove K è individuato dalla seguente relazione
Tutti i fusi orari sono GMT + 1 ora Vai a 1, 2Successivo
Pagina 1 di 2
Non puoi inserire nuovi argomenti Non puoi rispondere a nessun argomento Non puoi modificare i tuoi messaggi Non puoi cancellare i tuoi messaggi Non puoi votare nei sondaggi