|
| Precedente :: Successivo |
| Autore |
Messaggio |
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
 Inviato: 04 Dic 2009 11:27 Oggetto: Problemino sugli interi |
 |
|
Trovare il più piccolo numero intero n con la proprietà che n+1 e 2n+1 siano entrambi quadrati perfetti.
Sarebbe bello, poi, mostrare che ogni intero N con questa proprietà è un multiplo di n.
P.S.: non conoscendo la risposta ufficiale, ammetto di aver trovato la risposta al primo quesito con il proibitissimo excel  ...e che ancora ci sto studiando 
EDIT: n >=1
L'ultima modifica di Salmastro il 05 Dic 2009 20:31, modificato 1 volta |
|
| Top |
|
 |
Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
|
| Inviato: 05 Dic 2009 14:42 Oggetto: |
|
|
| Citazione: | il numero più piccolo che si trova con questa relazione è IL numero intero più piccolo che ci sia:
0
n+1 -> 0+1= 1
2n + 1 -> 2*0 +1 = 1
i quali sono due cuadrati perfetti
....
Non ho capito esattamente cosa cerchi però... ho gia riletto più e più volte il 3D ma non riesco proprio a capire cosa cerchi... Se potessi riformulare la domanda usando altre parole te ne sarei grato Sal. Grazie
"Sarebbe bello, poi, mostrare che ogni intero N con questa proprietà è un multiplo di n.
"
|
Vorrei fare anche notare, nel caso si volesse ragionare in altri termini: | Citazione: |
che in sostanza si cercano due numeri quadrati dove quello maggiore è dispari e se gli si somma 1 è il doppio del quadrato minore
prendendo
n+1= q
2n + 1 = Q
si ha Q = 2q-1
da qui anche Q = q+ (q-1) [consecutivi] |
|
|
| Top |
|
|
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
| Inviato: 05 Dic 2009 20:30 Oggetto: |
|
|
ho omesso l'ipotesi che l'intero sia maggiore o uguale a 1, edito il primo post
@ Scrigno: esatto quanto scrivi nel secondo quote (per cui escludo che il problema non ti sia chiaro), prosegui su questa strada |
|
| Top |
|
|
Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
|
| Inviato: 06 Dic 2009 01:35 Oggetto: |
|
|
| salmastro ha scritto: | ho omesso l'ipotesi che l'intero sia maggiore o uguale a 1, edito il primo post
@ Scrigno: esatto quanto scrivi nel secondo quote (per cui escludo che il problema non ti sia chiaro), prosegui su questa strada |
SAL:
in questa tua frase:
Sarebbe bello, poi, mostrare che ogni intero N con questa proprietà è un multiplo di n.
LA "N"; a quale, tra tutte le variabili nominate, si riferisce:
| Citazione: | n?
n+1?
2n +1
perchè quello che capisco io è che:
N/n = numero naturale
facci un esempio:
essendo n= 24
abbiamo 24+1 = q = 25 = 5^2
poi abbiamo 2n+1= 24 + 25 =Q 49 = 7^2
N sarebbe multiplo di 24?
|
RI-Edit 6 dicembre
Dimenticavo di scrivere che:
| Citazione: | Il numero più piccolo, escluso lo "0", è il 24.
24+1 = 25 = 5^2
2*24 + 1 = 49 = 7^2 |
|
|
| Top |
|
|
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
| Inviato: 06 Dic 2009 12:45 Oggetto: |
|
|
@ Scrigno:
il numero intero (maggiore di zero) è quello che scrivi tu nel riedit, che in prima battuta avevo scovato excellando (ma è scorretto  ) e poi ho ritrovato con un procedimento che dovrei affinare.
tu come ci sei arrivato?
P.S.: avendo trovato il più piccolo n, dovremmo dimostrare, poi, che ogni altro intero che ha quelle proprietà è della forma k*n (multiplo di n) |
|
| Top |
|
|
Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
|
| Inviato: 06 Dic 2009 13:49 Oggetto: |
|
|
| salmastro ha scritto: | @ Scrigno:
il numero intero (maggiore di zero) è quello che scrivi tu nel riedit, che in prima battuta avevo scovato excellando (ma è scorretto ) e poi ho ritrovato con un procedimento che dovrei affinare.
tu come ci sei arrivato?
P.S.: avendo trovato il più piccolo n, dovremmo dimostrare, poi, che ogni altro intero che ha quelle proprietà è della forma k*n (multiplo di n) |
| Citazione: | Non l' ho trovato excellando ma con carta e penna che è poi la stessa cosa... ho usato la serie dei dispari ed ho subito notato che il k in questione è la somma di 11 e 13 che sono poi i successivi dispari che da 25 portano a 49.
Praticamente, ed io in matematichese questo non lo so scrivere, la coppia di quadrati in questione è data da due numeri in successione dove il più grande è un cuadrato ed il predecessore è anceh la somma dei numeri dispari successivi, nella serie dei dispari, |
per ora sono in un vicolo molto buio 
| Citazione: | | altre curiosità sono che anche il successore di un quadrato può determinare una coppia di quadrati perfetti... |
|
|
| Top |
|
|
Roberto1960
Dio maturo
Registrato: 21/01/08 00:39
Messaggi: 1168
Residenza: Roma
|
| Inviato: 07 Dic 2009 00:15 Oggetto: |
|
|
| salmastro ha scritto: | @ Scrigno:
il numero intero (maggiore di zero) è quello che scrivi tu nel riedit, che in prima battuta avevo scovato excellando (ma è scorretto ) e poi ho ritrovato con un procedimento che dovrei affinare.
tu come ci sei arrivato?
P.S.: avendo trovato il più piccolo n, dovremmo dimostrare, poi, che ogni altro intero che ha quelle proprietà è della forma k*n (multiplo di n) |
Bene, bene, vedo che non sono il solo ha "scavare" nei numeri con Excel.
Probabilmente Excel è l'unica cosa che, forse, salverà Bill Gates dalle fiamme dell'inferno quando si troverà di fronte al Giudice Supremo... 
Ma andiamo al problema proposto.
Il più piccolo intero che possiede la proprietà proposta è quello che avete trovato anche voi. Però a me interessa la seconda parte del problema proposto, molto più interessante, e così mi sono messo a cercare in avanti, per naturali sempre più grandi che hanno le due proprietà proposte.
Ho usato per l'appunto Excel per cercare esaustivamente quali interi risolvono il problema proposto e ne ho trovati i seguenti 5 limitandomi a numeri naturali fino ad 1 milione:
| Citazione: | | 0, 24, 840, 28560, 970224 |
Fino a qui niente di particolare da segnalare.
Poi è successo qualcosa di strano.
Guardando questi numeri e guardando anche i numeri che venivano fuori eseguendo le radici RADQ(n+1) e RADQ(2n+1), mi è balzata agli occhi una specie di coincidenza numerica (mi sono sentito una specie di John Nash, confesso).
Ci ho lavorato su un pochino ed è venuta fuori una formula di ricorrenza.
Prima di descriverla devo introdurre un po' di notazioni, spero di non annoiare.
Chiamiamo con n(m) la successione dei numeri naturali n che risolvono il problema. Partiamo con m=0, il più piccolo di questi numeri, che vale 0; anche se salmastro l'ha poi escluso dal testo è pur sempre valido perché soddisfa la due condizioni.
Quindi n(0) = 0;
n(1) è la risposta alla prima domanda del problema e quindi vale
come hanno già trovato salmastro e Scrigno.
n(2), n(3) ed n(4) sono quelli che ho scritto sopra.
Sono ragionevolemente sicuro che non ce ne siano altri più piccoli di questi nella successione perché il calcolo fino ad 1000000 l'ho fatto in maniera esaustiva con Excel.
Ho lavorato un po' sui numeri ed è venuta fuori la seguente formula di ricorrenza (complicatuccia, ma non tremenda):
| Citazione: | | n(m)=RADQ(n(m-1)+1) * RADQ(2n(m-1)+1) * n(1) + n(m-2) |
In pratica da questa formula sembrerebbe che è possibile calcolare il temine ennesimo della successione dei numeri soluzione semplicemente usando i suoi due precedenti (una specie di "Fibonacci", anche se alquanto più complicata).
Naturalmente l'ho messa subito alla prova con i numeri che già conoscevo ed ha avuto successo, cioè la formula di ricorrenza riproduce i numeri n(2), n(3) ed n(4) già trovati "manualmente".
"Ma figurati se riesce ad avere successo con i numeri successivi, sicuramente fallirà nel giro di poco", mi sono detto.
E invece - sorpresa! - non ha fallito e mi ha consentito di calcolare altri numeri soluzione del problema, tra l'altro talmente grandi da non poter essere ottenuti per via esaustiva, cioè provando TUTTI gli interi uno dopo l'altro.
Con la formula ricorsiva ho infatti ottenuto i valori da n(5) a n(11) che metto coperti qui di seguito:
| Citazione: |
n(5)=32,959,080
n(6)=1,119,638,520
n(7)=38,034,750,624
n(8)=1,292,061,882,720
n(9)=43,892,069,261,880
n(10)=1,491,038,293,021,220
n(11)=50,651,409,893,459,800 |
Qui mi fermo perché non ha senso andare più avanti.
Ho verificato che questi numeri sono tutti soluzione del problema proposto.
Naturalmente non sono in grado di dimostrare né che la formula ricorsiva che ho trovato è corretta SEMPRE (funziona fino ad m=11), né che sia esaustiva, cioè che non ci siano altri numeri più piccoli di n(11) che siano soluzione e però non vengano generati dalla mia funzione.
Faccio notare però che la mia formula ricorsiva risponde affermativamente alla seconda domanda del problema infatti nella formula ci sono due termini, uno è n(1) che è proprio il valore n del testo, perché n(0)=0 è stato escluso, è l'altro è n(m-2) che ovviamente è un multiplo di n per ricorsione, quindi il valore n(m) che viene fuori dalla formula di ricorrenza è SEMPRE divisibile per n.
Altra cosa interessante, se la formula di ricorrenza è vera i numeri naturali che soddisfano le condizioni del problema SONO INFINITI.
Adesso ci vorrebbe un John Nash vero, uno capace di scavare nei numeri e dimostrare che quella formula di ricorrenza è vera.
Io ci sto provando ma, confesso, non ci riesco.
salmastro, se hai riferimenti su questo problema puoi darmeli per favore?
Vorrei fare qualche ricerca per vedere se qualcun altro ha avuto idee migliori o è riuscito a dimostrare una soluzione. |
|
| Top |
|
|
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
| Inviato: 07 Dic 2009 20:34 Oggetto: |
|
|
ciao, Roberto! 
assai interessante il tuo post: me lo devo studiare con molta calma
...e purtroppo ti devo dire che non ho reperito granchè (nulla!) sull'argomento  , ma non dispero!
P.S.: resta, comunque aperto il metodo per arrivare alla soluzione del primo quesito...
per quanto riguarda il secondo ( a parte il potente metodo ricorsivo), credo, possa bastare la verifica che il numero N con quelle proprietà sia divisibile per i singoli divisori del primo numero (maggiore di zero) scovato |
|
| Top |
|
|
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
| Inviato: 09 Dic 2009 16:01 Oggetto: |
|
|
| beh, se non ci saranno altri interventi, domani pomeriggio posto la soluzione "ufficiale" |
|
| Top |
|
|
Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 04:32
Messaggi: 313
|
| Inviato: 10 Dic 2009 21:14 Oggetto: |
|
|
| salmastro ha scritto: | | beh, se non ci saranno altri interventi, domani pomeriggio posto la soluzione "ufficiale" |
Con tanto rammarico mi arrendo .. 
NJon ho nemmeno un' idea pe rpoter fare una delle mie clamorese figure di cacchetta
Il che è tutto un dire
@Roberto
Credo che la prova universale delal tua formula la puoi avere attraverso l' induzione matematica...
Se val eper "0"; e vale per "1" ed ancora vale per un altro n, allora vale per TUTTI gli N... Però vattela a rileggere
altro link
wikipedia |
|
| Top |
|
|
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
| Inviato: 11 Dic 2009 12:17 Oggetto: |
|
|
Come promesso... Prima parte:
| Citazione: | Deve aversi:
(1) n + 1 = x^2
(2) 2n + 1 = y^2
con x e y interi.
Eliminando k dalle 2 equazioni, si ottiene, facilmente:
(3) 2x^2 - y^2 = 1
La (2) ci dice che y deve essere dispari; ricavando, allora, x^2 dalla (3) e ponendo y=2m+1, si ricava:
(4) x^2 = [(2m +1)^2 + 1]/2 = [4m^2 + 4m + 2]/2 = 2m^2 + 2m + 1
da cui si desume che anche x deve essere dispari.
Procedendo per tentativi a partire dal valore m = 1, il secondo membro della (4) risulta un quadrato perfetto per m = 3. Si ottiene, allora, per tale valore di m:
x = 5, y = 7
mentre, dalla (1), si ricava:
n = 24
si poteva anche procedere ponendo y = x + k (si sarebbe ottenuta un'equazione di secondo grado in x, con k come parametro (il più piccolo k utile si scopriva essere 2, da cui lo stesso risultato di sopra), ma la soluzione "ufficiale" è più maneggevole per la...
|
Seconda parte, che posto a parte |
|
| Top |
|
|
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
| Inviato: 11 Dic 2009 12:23 Oggetto: |
|
|
Seconda (macchinosissima) parte:
| Citazione: | Deve aversi:
(5) N + 1 = x^2
(6) 2N + 1 = y^2
con x e y interi.
Basta provare che N è divisibile per 8 e per 3.
Posto x=2m+1, la (5) fornisce:
N = (2m + 1)^2 - 1 = 4m(m + 1)
la quale prova la divisibilità di N per 8, essendo pari uno dei due numeri consecutivi m e m+1.
Dalla (3) si può desumere che x non può essere divisibile per 3; infatti, supposto che ciò avvenga, la (3) non può essere verificata da alcun valore di y; invero, sono possibili 3 casi:
a) è y = 3h
si vede che, in tal caso, il primo membro della (3) è multiplo di 3 ed il secondo membro è 1;
b) è y = 3h + 1
in questo caso si ha:
2x^2 - 9h2 - 6h = 2
uguaglianza nella quale il primo membro è multiplo di 3 ed il secondo vale 2;
c) è y = 3h + 2
in questo caso si ha:
2x^2 - 9h2 - 12h = 5
uguaglianza nella quale il primo membro è multiplo di 3 ed il secondo vale 5; quindi x non può essere multiplo di 3.
Dalla (5) si ricava:
(7) N = (x + 1)(x - 1)
Essendo il dispari x non divisibile per 3, uno dei due pari consecutivi x-1 e x+1 deve essere divisibile per 3 e ciò prova la divisibilità di N per 3.
In definitiva, N deve essere divisibile per 8 e per 3, quindi deve essere un multiplo di k=24 |
|
|
| Top |
|
|
Roberto1960
Dio maturo
Registrato: 21/01/08 00:39
Messaggi: 1168
Residenza: Roma
|
| Inviato: 13 Dic 2009 11:27 Oggetto: |
|
|
| salmastro ha scritto: | | Come promesso... |
Ciao Salmastro,
macchinosissima è dir poco...
Ma devo ammettere che mi sembra assolutamente valida.
Devo però fare una obiezione diciamo di principio, che riguarda la prima parte.
Durante la dimostrazione tu scrivi "procedendo per tentativi".
Ma questo non è logicamente equivalente ad utilizzare il "proibitissimo Excel"?
Secondo me la tua soluzione non è una vera soluzione algoritmica, il risultato non viene fuori da una formula, bensì da una verifica manuale, per quanto essa possa essere più sofisticata della verifica "brutale" con Excel.
E invece io penso che la risposta al primo quesito, il numerello che ha trovato anche Scrigno, possa venire fuori proprio per via matematica, e più avanti spiegherò anche come (in realtà questo discende proprio dalla tua dimostrazione della seconda parte).
Andiamo allora proprio alla seconda parte.
Mi è piaciuto il modo in cui dimostri che n deve essere divisibile per 8.
Hai derivato una formula da cui si ricava questa divisibilità in maniera evidente.
Invece per quanto riguarda la divisibilità per 3 devo dirti onestamente che la procedura che hai scritto è decisamente "brutta".
Ho tentato quindi di trovare una formula del tipo n=3[intero], che dimostri la divisibilità per tre in maniera evidente ma non ci sono ancora riuscito.
Mi tocca quindi accettare la tua dimostrazione.
Però proprio la tua dimostrazione mi ha fatto venire in mente la seconda obiezione di fondo a cui alludevo sopra.
La scrivo coperta perché cito la soluzione.
| Citazione: |
Tu hai dimostrato che il numero n che stiamo cercando deve essere divisibile per 8 e per 3, giusto?
Allora è evidente che non può essere più piccolo di 24, quindi basta verificare se 24 soddisfa le due condizioni di partenza.
Secondo me la ricerca per tentativi è inutile.
La dimostrazione dovrebbe partire con la divisibilità per 8 e per 3 di n, e poi con la verifica che il più piccolo di questi n, per l'appunto 24, è effettivamente una soluzione, perché queste proprietà di divisibilità sono condizioni necessarie ma non sufficienti.
|
Che ne pensi?
Resta aperto il problema della verifica di quella mia formula di ricorrenza.
Non sono ancora riuscito a trovare nulla, ma non è che finora abbia fatto grandi ricerche.
Mi piacerebbe sapere se qualcun altro l'ha già scritta e ha capito se è vera o meno.
Se trovi qualche fonte per favore fammi sapere.
Chiudo con una risposta a Scrigno.
Naturalmente ho cercato di applicare l'induzione, che conosco molto bene, alla mia formula.
Nel caso di formule ricorsive è sempre la strada maestra.
Sfortunatamente, non ci sono riuscito.
Come vedi non sei solo nelle "figure di cacchetta"  |
|
| Top |
|
|
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
| Inviato: 13 Dic 2009 13:20 Oggetto: |
|
|
@ Roberto:
sulla pochezza estetica del "proceder per tentativi" hai perfettamente ragione, infatti un altro metodo era questo:
| Citazione: | n + 1 = a^2
2n + 1 = (a + b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2
eliminando n fra le due, si ottiene un'equazione di secondo grado in a, con b come "parametro"
a^2 -2ab -b^2 -1, che risolta ci dà:
a = b + sqrt[2b^2 +1] (si è esclusa la sol. col segno meno davanti alla radice, ché altrimenti a sarebbe negativa)
ora l'argomento della radice deve essere un quadrato perfetto e, se riscritto così: b^2 + b^2 + 1 , icto oculi, lo è se b^2 = 2b, da cui b=2; a=5; a+b=7; n=24 (N.B.: andava bene anche b=0...)
al crescere di b cresce a e cresce n, verificato che per b=1 la cosa non funziona, allora 24 è il numero più piccolo che soddisfa le condizioni iniziali (nell'altra dimostrazione s'era visto, per inciso, che a ed a+b erano numeri dispari) |
questo metodo, ahimè, ha il difetto di non permettermi (ci dovrei lavorare) di dimostrare la seconda parte e cioè che:
| Citazione: | | N = a^2 -1 = 3b^2 + 2b*sqrt[2b^2 *1] è divisibile per 24... |
per la seconda parte era troppo invitante la "notevole" relazione
| Citazione: | | N + 1 = a^2, da cui N =(a-1)*(a+1) |
per non procedere su quella via
resta aperta la questione da te sottoposta e cioè dimostrare la relazione per ricorrenza..ci penso! |
|
| Top |
|
|
Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
|
| Inviato: 13 Dic 2009 19:36 Oggetto: |
|
|
Aggiungo una piccola osservazione: si puo' trovare che i numeri n che soddisfano le condizioni di partenza, possono essere ottenuti anche
| Citazione: | elevando al quadrato e sottraendo 1 ai termini dispari della sequenza:
a(k) = 2a(k-1) + a(k-2), con a(0)=0, a(1)=1
Infatti:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025...
da cui si trovano:
1, 24, 840, 28.560, 970.224, 32.959.081, 1.119.638.520, 38.034.750.624...
|
|
|
| Top |
|
|
Roberto1960
Dio maturo
Registrato: 21/01/08 00:39
Messaggi: 1168
Residenza: Roma
|
| Inviato: 13 Dic 2009 23:44 Oggetto: |
|
|
| Jowex ha scritto: | Aggiungo una piccola osservazione: si puo' trovare che i numeri n che soddisfano le condizioni di partenza, possono essere ottenuti anche...
|
Bella, molto bella quella tua formula di ricorrenza!
E' anche più semplice della mia.
E tra l'altro mostra una parentela molto stretta con la serie di Fibonacci (c'è solo un fattore 2 in più).
E cosa ancora più importante, produce esattamente gli stessi numeri che produce la mia!
Infatti mi sto chiedendo: ma non sarà che le due formule ricorsive gira gira sono equivalenti?
Forse passando dalle a alle n, sempre basandosi sulla relazione di partenza n + 1 = a^2, si riesce a dimostrarlo, chissà?
Io stasera mollo e me ne vado a dormire.
Oh, se trovate qualcosa fate un fischio, eh! |
|
| Top |
|
|
Jowex
Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90
|
| Inviato: 24 Dic 2009 15:09 Oggetto: |
|
|
Completo l'osservazione del post precedente con il procedimento che mi aveva permesso di arrivare a quella successione.
Non porta a una soluzione per la seconda parte del quesito, ma magari puo' tornare utile per qualche altro problema
| Citazione: | Ponendo:
n+1=a^2 ovvero n=a^2-1
2n+1=b^2 ovvero n=(b^2-1)/2
e uguagliando le due relazioni si ottiene:
a^2-1=(b^2-1)/2 0vvero b^2 - 2a^2 = -1
Se a e b fossero reali, sarebbe l'equazione di un iperbole.
L'equazione assomiglia a un'equazione diofantea, ma prende il nome di equazione di Pell, ed esiste il modo di risolverla!
Il procedimento non è proprio intuitivo e fa uso delle frazioni continue
Questa in particolare è abbastanza semplice e si puo' risolvere con carta e penna e porta alle soluzioni (infinite):
(b,a) -> n=a^2-1
1, 1 -> 1
7, 5 -> 24
41, 29 -> 840
239, 169 -> 28.560
1393, 985 -> 970.224
8119, 5741 -> 32.959.081
...
Nota: il rapporto b/a tende a radice di 2!
Per concludere, ho ottenuto la successione del post precedente esprimendo l'andamento delle soluzioni di a (che si vede facilmente solo facendo i passaggi mano...)
Ho poi scoperto che i numeri a trovati prendono il nome di numeri di Pell |
Alcuni riferimenti:
link
link
Riporto anche il testo di un problema attribuito ad Archimede:
| Citazione: | Calcola, o amico, il numero dei buoi del Sole, operando con cura, tu che possiedi molta scienza; calcola in quale numero pascolavano un giorno sulle pianure dell'isola sicula Trinacria, distribuiti in quattro gruppi di vario colore: uno di aspetto bianco latteo, il secondo splendente di color nero, il terzo poi di un bruno dorato ed il quarto screziato.
In ogni gregge i tori erano in quantità considerevole, distribuiti secondo i rapporti seguenti:
ritieni i bianchi come eguali alla metà ed alla terza parte di tutti i neri ed ai bruni;
i neri poi eguali alla quarta parte ed alla quinta degli screziati e a tutti i bruni;
i restanti screziati considerali poi come eguali alla sesta ed alla settima parte dei tori bianchi e di nuovo a tutti i bruni.
Le giovenche invece erano distribuite nei rapporti seguenti:
le bianche erano eguali precisamente alla terza e quarta parte di tutto il gregge nero;
le nere alla quarta parte insieme alla quinta delle screziate prese assieme ai tori;
le screziate erano precisamente eguali alla quinta parte ed alla sesta di tutti gli animali del gregge bruno;
le brune poi vennero valutate eguali alla metà della terza parte ed alla settima parte del gregge bianco.
Quando, o amico, avrai determinato esattamente quanti erano i buoi del Sole, avrai distinto quanti erano di ciascun colore, non ti si chiamerà certamente ignorante nè inabile nei numeri, però non ti si ascriverà peranco fra i sapienti.
Ma ora bada bene a questi altri rapporti fra i buoi del Sole. Quando i tori bianchi mescolavansi ai neri formavano una figura equilatera, le vaste pianure della Trinacria erano allora tutte piene di buoi; invece i bruni e gli screziati costituivano una figura triangolare.
Quando avrai trovato tutto questo e l'avrai esposto sotto forma intelligibile e avrai anche trovato il numero totale dei buoi, allora, o amico, va superbo per quanto hai fatto come un vincitore e sta sicuro di venire considerato come ricco di quella scienza |
(non provate a risolverlo! ) |
|
| Top |
|
|
Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
|
| Inviato: 24 Dic 2009 18:34 Oggetto: |
 |
|
grazie Jowex
...anche per averci esentato dall'esame del "mitico" quesito |
|
| Top |
|
|
|
|
Non puoi inserire nuovi argomenti
Non puoi rispondere a nessun argomento
Non puoi modificare i tuoi messaggi
Non puoi cancellare i tuoi messaggi
Non puoi votare nei sondaggi
|
|
FAQ
Cerca
Lista utenti
Gruppi
Registrati
Profilo
Messaggi privati
Log in
