Salmastro
Dio minore
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 Inviato: 30 Dic 2009 12:50 Oggetto: |
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E veniamo, con colpevole ritardo, al secondo metodo, che, onestamente, più che una dimostrazione è quasi una constatazione.
In sostanza il problema originale è analogo a quello del fruttivendolo che costruisce una piramide a base quadrata con le sue arance e vuole sapere quante gliene servono per ottenerne una di N piani.
Sta di fatto che, dopo un po’, il negoziante si accorge che…
| Citazione: | con lo stesso numero di arance riesce a costruire ben due piramidi a base triangolare (due tetraedri) delle quali una con N piani e l’altra con N-1. Come mai?
Semplice: se nel primo caso usiamo dei quadrati, nel secondo dei triangoli (equilateri, o, per “comodità”, è meglio dire rettangoli isosceli), ed è praticamente ovvio affermare che con due triangoli rettangoli e isosceli (e congruenti) si possa ottenere un quadrato. Nel nostro caso doppiamo, però, apportare una piccola correzione.
Per prima cosa diciamo che un numero naturale Q è un numero quadrato se e solo se è possibile disporre Q punti a formare un quadrato ed inoltre che un numero T è un numero triangolare se è rappresentabile in forma di triangolo, ovvero, preso un insieme formato da Q punti con è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo rettangolo isoscele o un triangolo equilatero. In sostanza a partire da 1, per ottenere il numero triangolare di ordine k, aggiungiamo a mano a mano “strisce” formate da punti la cui quantità è data dagli interi comprese fra 1 e k.
Numeri triangolari: qui Numeri quadrati: qua
Il valore del numero triangolare di ordine k ci è noto, ché trattandosi, sostanzialmente, della somma dei primi k interi Gauss ci insegna essere pari a k*(k+1)/2.
Nel nostro caso, unendo lungo la diagonale due di questi triangoli con l’accortezza che se uno è di ordine k l’altro deve essere di ordine k-1, otteniamo un quadrato.
Infatti: k*(k+1)/2 + (k-1)*k/2 = k*(k+1 + k-1)/2 = k^2
Per cui il nostro fruttivendolo per ricavare due piramidi usa questo trucco: “taglia” i quadrati!
Se riusciamo a calcolare la somma dei primi numeri triangolari, otterremo anche la somma dei quadrati: Q(k) = T(k) + T(k-1) e, magari, è più agevole!
Beh, tutto parte dall’unità: aggiungendo unità ad unità si ottengono gli interi, aggiungendo intero ad intero i numeri triangolari, aggiungendo triangoli a triangoli i numeri “tetraedrici”…
Ora un intero n si può scrivere come C(n,1) = n![(n-1)!*1!] = n {C sono i coefficienti binomiali}
L’n-simo triangolare come C(n+1, 2) = (n+1)!/[(n+1-2)!*2!] = (n+1)*n/2
…e se i tetraedrici fossero dati da C(n+2, 3)?
Ebbene, sì: per come sono costruiti i coefficienti binomiali (o, per meglio dire, per come è costruito il triangolo di Tartaglia-Newton-Pascal) accade proprio quello che avevamo subdorato:
un’immagine è meglio di tante parole: QUI
vale giusto rimarcare che il triangolo di TNP si costruisce in modo tale che C(n,k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)
per cui, l’n-simo tetraedrico vale n*(n+1)*(n+2)/6 e l’n-simo “piramidale a base quadrata” (la somma dei primi n quadrati) vale:
n*(n-1)*(n+2)/6 + (n-1)*n*(n+1)/6 = n*(n+1)*(2n+1)/6 |
mi scuserete per la prolissità (ma anche per la mancanza di un "vero" colpo di scena), e per farmi perdonare, vogliate gradire i miei auguri per un giocoso ed enigmatico 2010  |
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