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* Basta un dado
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
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MessaggioInviato: 16 Feb 2010 12:32    Oggetto: * Basta un dado Rispondi citando

Il gioco funziona così:
io sono il banco…e tiro n volte un dado, quello classico, senza trucchi, con sei facce.
Il giocatore vince se in questi n tiri sono stati ottenuti tutti i valori.

Il problema è stabilire qual è il valore massimo N dei lanci effettuabili affinché il gioco rimanga “disonesto”, cioè favorevole al banco.
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dart
Eroe
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Registrato: 24/02/09 12:06
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MessaggioInviato: 18 Feb 2010 13:29    Oggetto: Rispondi citando

Dovrebbe essere...
Citazione:
9 lanci.
In questo modo la probabilità di vincita del giocatore dovrebbe essere del 43,02%.
Con 10 lanci, invece, salirebbe al 52.52%.


Non chiedermi i calcoli perchè sono strani e non saprei come scriverli. Laughing
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 19 Feb 2010 11:49    Oggetto: Rispondi citando

dart ha scritto:
Dovrebbe essere...
Citazione:
9 lanci.
In questo modo la probabilità di vincita del giocatore dovrebbe essere del 43,02%.
Con 10 lanci, invece, salirebbe al 52.52%.


Non chiedermi i calcoli perchè sono strani e non saprei come scriverli. Laughing


beh, spiegaci il ragionamento: a fare i calcoli ci pensiamo dopo! Wink Very Happy
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dart
Eroe
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Registrato: 24/02/09 12:06
Messaggi: 74

MessaggioInviato: 19 Feb 2010 12:52    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
beh, spiegaci il ragionamento: a fare i calcoli ci pensiamo dopo! Wink Very Happy


Ok, ci provo...
Citazione:
Partiamo dal lancio di 6 dadi.
Al denominatore, tutti i possibili casi: 6^6.
Al numeratore: 6x5x4x3x2x1.
Risultato, 1,54% che escano tutti i numeri.

Ad ogni lancio successivo, il denominatore viene moltiplicato per 6.
Per quanto riguarda il numeratore... tutti i casi che precedentemente andavano bene, continuano ad andare bene indipendentemente dall'esito dell'ultimo lancio, quindi si moltiplica il "numeratore precedente" per 6.
A questo, si devono aggiungere tutti gli altri casi, ovvero il valore del "denominatore precedente", meno i casi già presi in considerazione prima, e meno i 6 casi che non porterebbero comunque alla vittoria.

Sicuro che non si sia capito nulla, faccio un esempio.

6 lanci:
denominatore: 6^6 = 46.656
numeratore: 6x5x4x3x2x1 = 720

Al settimo lancio:
denominatore: 6^7 = 279.936
numeratore: (720x6) + (46.656-720-6) = 50.250
Provabilità di vincita: 17,95%


P.S. Lo so, uso dei metodi un po' "rozzi" Laughing
ma a volte funzionano, anche se non ho studiato le operazioni con le probabilità Razz
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
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MessaggioInviato: 19 Feb 2010 13:41    Oggetto: Rispondi citando

ci penso su Rolling Eyes

ma forse (dico forse) sei un po' ottimista Very Happy
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dart
Eroe
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Registrato: 24/02/09 12:06
Messaggi: 74

MessaggioInviato: 19 Feb 2010 14:30    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
ci penso su Rolling Eyes

ma forse (dico forse) sei un po' ottimista Very Happy


Ci stavo ripensando anch'io, forse sono più di 6 i casi da escludere nella parte finale del ragionamento.
Ora riguardo e vedo se riesco a correggere...

Edit: il denominatore e la prima parte del numeratore dovrebbero essere giusti. Ovvero, tutti i casi che andavano bene al lancio N, andranno bene anche al lancio successivo, quindi vanno moltiplicati per 6. Restano da contare tutti i casi sfavorevoli...
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 22 Feb 2010 12:38    Oggetto: Rispondi citando

suggerimento:

premesso che, come sempre, bisogna alla fin fine fare il solito rapporto fra eventi favorevoli ed eventi totali (F/T), credo convenga enumerare, stavolta, i casi sfavorevoli (S) e poi ricavare P come (1-S)/T.

cominceremo a vedere, su N lanci, quanti non contengono il numero 1, quanti il numero 2 etc.
ma non finisce qui, ché sopravvalutiamo la sfortuna, per cui dovremo togliere i casi in cui...
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eins
Eroe in grazia degli dei
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Residenza: dietro al PC

MessaggioInviato: 24 Feb 2010 01:37    Oggetto: Rispondi citando

Citazione:

1) per prima cosa mi domando quanto sia la probabilità che in una serie di 6 lanci io possa ottenere tutte e sei le differenti possibili uscite; nel primo lancio va bene qualsiasi numero (p=1), nel secondo andranno bene tutti meno quello uscito per primo (p=5/6), nel terzo tutti meno i due usciti nei primi due lanci ... in definitiva, per l'indipendenza statistica dei lanci, la probabilità cercata dovrebbe essere il prodotto delle precedenti, cioè 1*(5/6)*(4/6)*(3/6)*(2/6)*(1/6)=6!/6^6=720/46.656=0,0154...
2)ora, vanno considerate (e per la mutua esclusività sommate) le ulteriori combinazioni favorevoli date da un lancio che completi una cinquina già esistente (un 5+1 insomma). quindi il settimo lancio sarà fortunato per il giocatore se completa una cinquina già fatta e non considerata nel primo caso; da notare che anche se non fortunato però potrebbe far diventare una cinquina una eventuale quaterna precedente, cosa che consideriamo nel seguente caso
3) lo stesso dicasi per l'ottavo lancio (ed analogamente per i successivi) che possa completare una cinquina ottenuta nei precedenti sette lanci, con una catena di prodotti di calcolo, che lascio per ora a qualcuno più lucido di me .......
Per eventuali reclami si avverte che il suddetto prodotto non è coperto da garanzia!! A presto.
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 24 Feb 2010 11:29    Oggetto: Rispondi citando

ciao eins Very Happy

grazie per aver risposto all'invito Wink

le tue considerazioni, a mio parere, sono estremamente sensate e sono certo che troverai la "lucidità" per sbrogliare la matassa!
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Nemrod
Comune mortale
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Registrato: 24/02/10 17:10
Messaggi: 6

MessaggioInviato: 25 Feb 2010 12:42    Oggetto: Rispondi

Io stavo provando a partire dal concetto che

Citazione:
ogni volta che si acquisisce un numero che non è ancora uscito, si passa al "livello" successivo. Ogni livello ha una probabilità di passare all'altro relativa al numero di facce del dado che non sono ancora uscite, come in questa immagine...

Ora però sono bloccato sul come "formalizzare" la costruzione dei casi positivi/negativi... catene di Markov?

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