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* Ancora sugli interi
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Autore Messaggio
Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
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MessaggioInviato: 09 Mar 2010 12:24    Oggetto: * Ancora sugli interi Rispondi citando

Pare che...

...il prodotto di tre numeri interi positivi consecutivi non possa essere il cubo di un numero intero.

Aiutatemi a dimostrarlo! Very Happy

...e sembrerebbe pure che il prodotto di k numeri interi positivi consecutivi non possa essere la potenza k-esima di un numero intero.

Sarà vero? Rolling Eyes
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ulisse
Dio maturo
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Registrato: 02/03/05 01:09
Messaggi: 1531
Residenza: Bagnone (MS)

MessaggioInviato: 10 Mar 2010 22:57    Oggetto: Re: Ancora sugli interi Rispondi citando

Orpo, adesso che ho letto il quesito capisco perché dopo due giorni ha 44 letture ma nessuna risposta!
Quasi quasi mi cimento con la prima dimostrazione:
Citazione:
Chiamiamo x, x+1, x+2 i tre numeri consecutivi [con x intero positivo] e consideriamo il polinomio che descrive il loro prodotto: P(x)=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x.
Supponiamo per assurdo che esista un numero intero x+k il cui cubo è proprio il polinomio P(x) ovvero P(x)=(x+k)^3.
Allora possiamo affermare che x(x+1)(x+2)=(x+k)^3.
Sviluppiamo i conti in entrambi i membri dell'uguaglianza:
x^3+3x^2+2x=x^3+3kx^2+3k^2x+k^3
Semplifichiamo e portiamo tutto a primo membro:
3(1-k)x^2+(2-3k^2)x-k^3=0.
Calcoliamo il discriminante:
b^2-4ac=(2-3k^2)^2+12(1-k)k^3=- 3k^4 + 12k^3 - 12k^2 + 4 che risulta essere positivo solo per k=0,1,2
Sostituendo nell'equazione e risolvendo ricaviamo le uniche tre coppie di interi n,k
k=0, n=0
k=1, n=-1
k=2, n=-2
In nessun caso viene rispettato il vincolo di positività di n quindi siamo condotti ad un assurdo e il teorema è dimostrato.

Il caso generale mi pare più impegnativo. Però iniziando a rifletterci mi è venuta in mente una soluzione "alternativa" a quella appena esposta che oltre ad essere più corta (e senza risolvere equazioni) a naso mi pare fornisca indicazioni su come affrontare il caso generale:

Citazione:
Siano n, n+1, n+2 tre numeri interi positivi consecutivi. Sia y il numero cercato ovvero il numero il cui cubo eguaglia il prodotto degli altri tre:
n(n+1)(n+2)=y^3.
y non può essere più grande di n+1 perché già con y=n+2 arriviamo all'assurdo n(n+1)(n+2)=(n+2)^3
analogamente non può essere più piccolo di n+1 per le stesse ragioni.
Quindi non può essere che y=n+1 da cui n(n+1)(n+2)=(n+1)^3 ovvero n(n+2)=(n+1)^2 che però non ha soluzioni intere positive

Per stanchezza non ho fatto controlli. Sieti quindi pregati di farmi le pulci!
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Salmastro
Dio minore
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Registrato: 13/12/06 19:36
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Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 12 Mar 2010 11:04    Oggetto: Rispondi citando

scusate il ritardo Embarassed

beh, penso proprio che quanto scritto nel primo quote di Ulisse, come suol dirsi, non fa una grinza! Very Happy

giusto per scriver qualcosa ( Wink )

Citazione:
io avevo usato, invece di n, n+1, n+2, la notazione n-1, n, n+1, che mi sembrava più "economica" e, mi pare, porti ad un più agevole studio del "discriminante"
ma i risultati, ovviamente, coincidono!


e non posso esimermi dal ritenere assai interessante l'approccio..."filosofico" del secondo quote: sto esplorando anch'io l'applicabilità al caso generale, ma con scarsi risultati...

fatti risentire, Ulisse, e grazie per l'intervento, come di consueto da...Applause Applause Applause
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Jowex
Eroe in grazia degli dei
Eroe in grazia degli dei


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MessaggioInviato: 12 Mar 2010 16:31    Oggetto: Rispondi citando

Una dimostrazione del caso generale potrebbe essere questa, anche se non sono ancora del tutto convinto, quindi attendo possibili smentite! Very Happy
Citazione:
Definiamo il prodotto di k numeri interi positivi consecutivi come P(n, k) = n(n+1)...(n+k-1)
Dobbiamo dimostrare che per ogni m, n, k: P(n,k) != m^k
Passo 1: Dim per induzione:
Dato che la tesi è vera per ogni m, n e per k=3 (ma anche per k=2),
supponiamo che sia vera per k: per ogni m, n, k: P(n, k) != m^k
e dimostriamo che è vera anche per k+1: per ogni m, n, k: P(n, k+1) != m^(k+1)
Passo 2: Dim per assurdo:
Verifichiamo ora che la negazione dell'ultima tesi implica la negazione dell'ultima ipotesi
hp (negazione della tesi): esistono m, n, k tali che P(n, k+1) = m^(k+1)
th (negazione dell'ipotesi): esistono m, n, k tali che P(n, k) = m^k
P(n, k+1) = n(n+1)...(n+k-1)(n+k) = P(n, k)*(n+k)
P(n, k) = P(n, k+1)/(n+k) = m^(k+1)/(n+k)
Scegliendo m = n+k, l'ultima quantità è uguale a m^k, ovvero risulta verificato che P(n, k) = m^k e la dimostrazione è conclusa.
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Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 12 Mar 2010 19:50    Oggetto: Rispondi citando

Jowex ha scritto:
Una dimostrazione del caso generale potrebbe essere questa, anche se non sono ancora del tutto convinto, quindi attendo possibili smentite! Very Happy
Citazione:
Definiamo il prodotto di k numeri interi positivi consecutivi come P(n, k) = n(n+1)...(n+k-1)
Dobbiamo dimostrare che per ogni m, n, k: P(n,k) != m^k
Passo 1: Dim per induzione:
Dato che la tesi è vera per ogni m, n e per k=3 (ma anche per k=2),
supponiamo che sia vera per k: per ogni m, n, k: P(n, k) != m^k
e dimostriamo che è vera anche per k+1: per ogni m, n, k: P(n, k+1) != m^(k+1)
Passo 2: Dim per assurdo:
Verifichiamo ora che la negazione dell'ultima tesi implica la negazione dell'ultima ipotesi
hp (negazione della tesi): esistono m, n, k tali che P(n, k+1) = m^(k+1)
th (negazione dell'ipotesi): esistono m, n, k tali che P(n, k) = m^k
P(n, k+1) = n(n+1)...(n+k-1)(n+k) = P(n, k)*(n+k)
P(n, k) = P(n, k+1)/(n+k) = m^(k+1)/(n+k)
Scegliendo m = n+k, l'ultima quantità è uguale a m^k, ovvero risulta verificato che P(n, k) = m^k e la dimostrazione è conclusa.


sulla dimostrazione per induzione, ci penso Rolling Eyes

per l'altra, ho il fondato dubbio che la quantità "m" che figura nelle due espressioni grassettate non sia necessariamente la stessa...ma ci penso anche qui Rolling Eyes
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Salmastro
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MessaggioInviato: 12 Mar 2010 20:08    Oggetto: Rispondi citando

per tornare al caso semplice,

Citazione:
indicando i tre interi come x-1, x, x+1, avrei da dimostrare l'esistenza (o l'inesistenza) di un a intero tale che
(x-1)*x*(x+1) = x^3-x = a^3
da cui a = [rad3](x^3-x) {ho indicato con rad3 la radice cubica...}
ma [rad3](x^3-x) < [rad3](x^3), cioè [rad3](x^3-x) < x
e quindi, se esiste, è a<x e, al più, è quindi uguale ad x-1
ma (x-1)*x*(x+1) > (x-1)^3, per cui a "non esiste"


per il caso generale,

Citazione:
credo sia da valutare il fatto che, in sostanza, dire che dobbiam trovare un a intero tale che x*(x+1)*(x+2)*...*(x+k-1) = a^k
equivale a dire che [rad.k][x*(x+1)*...*(x+k-1)=a
e cioè che la media geometrica di k interi consecutivi non è mai un intero
chissà se sfruttando il fatto che la media geometrica è minore di quella aritmetica (se i numeri considerati non son tutti uguali) si possa ricavare qualcosa...
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pibe81
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MessaggioInviato: 17 Apr 2010 20:13    Oggetto: Rispondi citando

Scusate se mi intrometto, ma la tesi generale è palesemente sbagliata ponendo k=1, quindi non si può dimostrare in modo generale Smile
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MessaggioInviato: 18 Apr 2010 19:08    Oggetto: Rispondi citando

pibe81 ha scritto:
Scusate se mi intrometto, ma la tesi generale è palesemente sbagliata ponendo k=1, quindi non si può dimostrare in modo generale Smile


ma è pur vero che per k=1 non si può parlare dell'operatore prodotto...
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Salmastro
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MessaggioInviato: 10 Mag 2010 11:09    Oggetto: Rispondi

Dopo lunga meditazione (e contatti con altri appassionati), propongo una possibile soluzione del caso generale

Citazione:
Dati i k interi positivi consecutivi (k > 1): (n+1), (n+2), ..., (n+k)

vogliamo dimostrare che non esiste un intero m tale che:

(n+1)(n+2)...(n+k) = m^k.

Infatti l'intero m, se, per assurdo esistesse, deve coincidere con uno degli interi strettamente compresi tra n+1 e n+k (come già visto precedentemente per il caso k=3),
cioè ' m=n+x per un opportuno intero x: 1<x<k.

Se la scomposizione in fattori primi di n+x e'
n+x = [f(1)^e(1)] * [p(2)^e(2) *....* [f(h)^e(h)],
dove f(i) sono gli “h” fattori primi ed e(i) i relativi esponenti, avremmo

(n+1)(n+2)...(n+k) = m^k = {[f(1)^e(1)] * [p(2)^e(2) *....* [f(h)^e(h)]}^k (*)

Ma il successore di n+x (vale a dire n+x+1) e' coprimo a n+x (cioè n+x ed n+x+1) sono primi fra di loro) quindi contiene dei fattori primi estranei agli anzidetti f(i).
Eppure, essendo x<k, n+x+1 figura nel prodotto (n+1)(n+2)...(n+k), incompatibilmente con (*)

P.S.: nella dimostrazione si è fatto uso della proprietà secondo la quale il MCD (massimo comune divisore) fra due numeri consecutivi (N ed N+1) è 1, vale a dire che i due numeri sono “coprimi” (o primi fra di loro). Per meglio comprendere la cosa si può consultare la voce “Identità di Bezout” su wiki.

Secondo tale identità, se a e b sono interi non entrambi nulli e d è il loro MCD, allora esiste una coppia (x, y) di interi – anche negativi – tali che (ax + by = d).
Nel nostro caso, se b=a+1, posto d=1, basta prendere x=-1 e y=1.


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