Precedente :: Successivo |
Autore |
Messaggio |
Salmastro Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36 Messaggi: 883 Residenza: Casalmico
|
Inviato: 15 Mar 2010 13:11 Oggetto: * Ol' Man River |
|
|
Uno show boat, il tipico battello del Mississippi, scende lungo il grande fiume.
Sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive.
Il vecchio capitano, chi si diletta di giochi matematici, ci ha informato che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è 380, sfidandoci a determinare il numero delle stazioni.
Lo vogliamo battere? |
|
Top |
|
|
Nemrod Mortale devoto
Registrato: 24/02/10 17:10 Messaggi: 6
|
Inviato: 15 Mar 2010 14:43 Oggetto: |
|
|
Allora...
Citazione: | Posto n+1 il numero di stazioni, alla partenza salgono n passeggeri (il numero di stazioni rimanenti), alla stazione successiva ne salgono n-1, che si sommano agli n già presenti, e ne scende uno (ogni passeggero scende ad una stazione diversa, per cui per ogni gruppo imbarcato ad ogni stazione scenderà un passeggero): totale 2(n-1) passeggeri.
La sequenza prosegue quindi così:
[Stazione] passeggeri
[0] n
[1] 2(n-1)
[2] 3(n-2)
[3] 4(n-3)
...
[n-1] n(n-n+1) = n
[n] n+1(n-n) = 0 ---> sono scesi tutti!!
Cercando di formalizzare, avrò che il numero di passeggeri alla fermata k è pari a
(k)(n-(k-1)), ponendo sempre n = n. fermate rimanenti.
Carcando il punto massimo della parabola -k^2 + (n+1),
ottengo (derivata prima) -2k + n + 1 = 0
da cui k = (n+1)/2, ossia la fermata a metà (o le due fermate al centro del percorso, qualora n sia pari)
Per il momento mi sono accontentato di risolvere enumerando le soluzioni: per ogni n, ho trovato i valori relativi alle fermate centrali, e la soluzione risulta essere 38 fermate (cioè 39 stazioni contando anche la partenza).
Naturalmente ci dovrebbe essere un modo per non dover andare a tentativi neanche nell'ultimo passaggio... ci penserò su, ma se qualcuno vuole anticiparmi è il benvenuto... |
|
|
Top |
|
|
Nemrod Mortale devoto
Registrato: 24/02/10 17:10 Messaggi: 6
|
Inviato: 15 Mar 2010 14:44 Oggetto: |
|
|
Bastava un attimo di tempo....
Citazione: | Mi basta sostituire il valore di k nell'equazione iniziale, e ottengo
-((n+1)^2)/4 + (n+1)(n+1)/2 = 380
da cui
(n+1)^2 = 380*4 = 1520
E quindi n+1 = 39
(anche se per essere un risultato perfetto avrei dovuto avere 1521, e non 1520... dove ho sbagliato?) |
|
|
Top |
|
|
Sir Jo Mortale pio
Registrato: 24/11/09 18:16 Messaggi: 21 Residenza: Napoli
|
Inviato: 16 Mar 2010 15:23 Oggetto: Re: Ol' Man River |
|
|
salmastro ha scritto: | Uno show boat, il tipico battello del Mississippi, scende lungo il grande fiume.
Sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive.
Il vecchio capitano, chi si diletta di giochi matematici, ci ha informato che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è 380, sfidandoci a determinare il numero delle stazioni.
Lo vogliamo battere? |
Citazione: | Ragionando molto empiricamente, cosa mia solita visto le carenze teoriche delle quali sono affetto, ho pensato che subito dopo la stazione intermedia c'è il massimo dei passeggeri, quindi ho pensato che la stazione intermedia fosse la radice quadrata di 380 (perchè subito dopo ogni fermata il numero di passeggeri è pari alle stazioni passate moltiplicate per le stazioni mancanti), e moltiplicando per 2 il risultato della radice quadrata si ottiene il numero di stazioni, che è 39.
Troppo dozzinale come ragionamento? E soprattutto....è giusto? |
|
|
Top |
|
|
Salmastro Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36 Messaggi: 883 Residenza: Casalmico
|
Inviato: 17 Mar 2010 11:30 Oggetto: |
|
|
Nemrod ha scritto: | Allora...
Citazione: | Posto n+1 il numero di stazioni, alla partenza salgono n passeggeri (il numero di stazioni rimanenti), alla stazione successiva ne salgono n-1, che si sommano agli n già presenti, e ne scende uno (ogni passeggero scende ad una stazione diversa, per cui per ogni gruppo imbarcato ad ogni stazione scenderà un passeggero): totale 2(n-1) passeggeri.
La sequenza prosegue quindi così:
[Stazione] passeggeri
[0] n
[1] 2(n-1)
[2] 3(n-2)
[3] 4(n-3)
...
[n-1] n(n-n+1) = n
[n] n+1(n-n) = 0 ---> sono scesi tutti!!
Cercando di formalizzare, avrò che il numero di passeggeri alla fermata k è pari a
(k)(n-(k-1)), ponendo sempre n = n. fermate rimanenti.
Carcando il punto massimo della parabola -k^2 + (n+1),
ottengo (derivata prima) -2k + n + 1 = 0
da cui k = (n+1)/2, ossia la fermata a metà (o le due fermate al centro del percorso, qualora n sia pari)
Per il momento mi sono accontentato di risolvere enumerando le soluzioni: per ogni n, ho trovato i valori relativi alle fermate centrali, e la soluzione risulta essere 38 fermate (cioè 39 stazioni contando anche la partenza).
Naturalmente ci dovrebbe essere un modo per non dover andare a tentativi neanche nell'ultimo passaggio... ci penserò su, ma se qualcuno vuole anticiparmi è il benvenuto... |
|
la mia soluzione è diversa
probabilmente il tuo errore dipende dal range in cui fai variare k...
@ Sir Jo:
attenzione, non c'è bisogno di particolari conoscenze per affrontare il quesito.
secondo me, bastano poche nozioni di geometria analitica elementare.
ritengo poi che il tuo ragionamento sia intuitivamente corretto (ma questo dipende, a posteriori, dalla particolare natura della relazione che lega il numero totale di fermate alla singola fermata) e che, però, dia solo un ordine di grandezza, chè il numero che vien fuori dal tuo calcolo non è intero |
|
Top |
|
|
Sir Jo Mortale pio
Registrato: 24/11/09 18:16 Messaggi: 21 Residenza: Napoli
|
Inviato: 17 Mar 2010 22:53 Oggetto: |
|
|
Citazione: | @ Sir Jo:
attenzione, non c'è bisogno di particolari conoscenze per affrontare il quesito.
secondo me, bastano poche nozioni di geometria analitica elementare.
ritengo poi che il tuo ragionamento sia intuitivamente corretto (ma questo dipende, a posteriori, dalla particolare natura della relazione che lega il numero totale di fermate alla singola fermata) e che, però, dia solo un ordine di grandezza, chè il numero che vien fuori dal tuo calcolo non è intero |
Citazione: | Nel caso specifico il problema è che non c'è un numero di stazioni passate pari a quelle ancora da raggiungere (compreso partenza e arrivo); con 39 stazioni totali (compreso arrivo e partenza) ci saranno 19 stazioni passate e 20 ancora da raggiungere, o 20 passate e 19 da raggiungere; e sia dopo la 19 che dopo la 20 ci saranno sempre 380 viaggiatori (19*20 o 20*19 è uguale), e facendo la radq di 380 e moltiplicato per 2 vien fuori un numero non intero; nel caso invece di di 38 stazioni totali subito dopo la stazione 19 la situazione sarà di 19 stazioni passate e 19 stazioni ancora da raggiungere, e in questo caso infatti il numero massimo di passeggeri è 361, la cui radq è 19 che moltiplicato per 2 fa esattamente 38 stazioni (comprese partenza e arrivo); mi chiedo come spiegare teoricamente questa leggera mancanza rispetto al numero intero nel caso di stazioni dispari (per es nel caso di 39 stazioni vengono fuori 38,987 stazioni...)
|
|
|
Top |
|
|
Nemrod Mortale devoto
Registrato: 24/02/10 17:10 Messaggi: 6
|
Inviato: 18 Mar 2010 09:22 Oggetto: |
|
|
Sir Jo ha scritto: |
Citazione: | Nel caso specifico il problema è che non c'è un numero di stazioni passate pari a quelle ancora da raggiungere (compreso partenza e arrivo); con 39 stazioni totali (compreso arrivo e partenza) ci saranno 19 stazioni passate e 20 ancora da raggiungere, o 20 passate e 19 da raggiungere; e sia dopo la 19 che dopo la 20 ci saranno sempre 380 viaggiatori (19*20 o 20*19 è uguale), e facendo la radq di 380 e moltiplicato per 2 vien fuori un numero non intero; nel caso invece di di 38 stazioni totali subito dopo la stazione 19 la situazione sarà di 19 stazioni passate e 19 stazioni ancora da raggiungere, e in questo caso infatti il numero massimo di passeggeri è 361, la cui radq è 19 che moltiplicato per 2 fa esattamente 38 stazioni (comprese partenza e arrivo); mi chiedo come spiegare teoricamente questa leggera mancanza rispetto al numero intero nel caso di stazioni dispari (per es nel caso di 39 stazioni vengono fuori 38,987 stazioni...)
|
|
Citazione: | Lo stesso valore che risulta a me calcolando la radice quadrata di 1520 e non di 1521... Qualcosa non torna allo stesso identico modo... |
|
|
Top |
|
|
Salmastro Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36 Messaggi: 883 Residenza: Casalmico
|
Inviato: 18 Mar 2010 12:01 Oggetto: |
|
|
Nemrod ha scritto: |
Citazione: | Lo stesso valore che risulta a me calcolando la radice quadrata di 1520 e non di 1521... Qualcosa non torna allo stesso identico modo... |
|
come dicevo prima, c'è qualcosa di errato nel tuo risultato, dal punto di vista formale, più che numerico.
qualora nessun altro intervenisse, posterò domani la mia opinione sul quesito.
L'ultima modifica di Salmastro il 19 Mar 2010 12:26, modificato 1 volta |
|
Top |
|
|
Jowex Eroe in grazia degli dei
Registrato: 15/04/06 14:20 Messaggi: 90
|
Inviato: 18 Mar 2010 21:58 Oggetto: |
|
|
Provo ad anticipare Salmastro...
Citazione: | Numeriamo le stazioni da 0 a N, dove 0 è la partenza e N è l'arrivo. Il numero totale di stazioni è N+1.
Stazione 0 (partenza): salgono N passeggeri, ne scendono 0
Stazione 1: salgono N-1, scendono 1
Stazione 2: salgono N-2, scendono 2
...
Stazione N-1: salgono 1, scendono N-1
Stazione N: salgono 0, scendono N
Alla stazione i-esima il numero di passeggeri aumenta di (N-i)-i = N-2i
Il numero di passeggeri sul battello dopo la stazione n-esima si ottiene facendo la sommatoria per i da 0 a n di (N-2i):
P(n) = sum(i da 0 a n) di (N-2i) = N(n+1)-2n(n+1)/2 = (n+1)(N-n)
Derivando come se fosse una funzione continua si ottiene il massimo per n=(N-1)/2, valido se N è dispari. Se N è pari, invece, il massimo si ottiene per n=N/2 e n=N/2-1.
N dispari: sostituendo n=(N-1)/2 si ottiene: P(n) = (N+1)(N+1)/4 = 380 che non ha soluzioni intere
N pari: sostituendo n=N/2 si ottiene: P(n) = (N+2)N/4 = 380 che ha soluzioni N = -40 e N=38.
Ovviamente l'unica accettabile è N=38 e il numero totale di stazioni compresa la partenza risulta N+1 = 39 |
|
|
Top |
|
|
Salmastro Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36 Messaggi: 883 Residenza: Casalmico
|
Inviato: 19 Mar 2010 12:40 Oggetto: |
|
|
Jowex ha scritto: | Provo ad anticipare Salmastro...
Citazione: | Numeriamo le stazioni da 0 a N, dove 0 è la partenza e N è l'arrivo. Il numero totale di stazioni è N+1.
Stazione 0 (partenza): salgono N passeggeri, ne scendono 0
Stazione 1: salgono N-1, scendono 1
Stazione 2: salgono N-2, scendono 2
...
Stazione N-1: salgono 1, scendono N-1
Stazione N: salgono 0, scendono N
Alla stazione i-esima il numero di passeggeri aumenta di (N-i)-i = N-2i
Il numero di passeggeri sul battello dopo la stazione n-esima si ottiene facendo la sommatoria per i da 0 a n di (N-2i):
P(n) = sum(i da 0 a n) di (N-2i) = N(n+1)-2n(n+1)/2 = (n+1)(N-n)
Derivando come se fosse una funzione continua si ottiene il massimo per n=(N-1)/2, valido se N è dispari. Se N è pari, invece, il massimo si ottiene per n=N/2 e n=N/2-1.
N dispari: sostituendo n=(N-1)/2 si ottiene: P(n) = (N+1)(N+1)/4 = 380 che non ha soluzioni intere
N pari: sostituendo n=N/2 si ottiene: P(n) = (N+2)N/4 = 380 che ha soluzioni N = -40 e N=38.
Ovviamente l'unica accettabile è N=38 e il numero totale di stazioni compresa la partenza risulta N+1 = 39 |
|
...e bene fai!
in effetti è paro paro quello che avrei scritto io, osservando che anche Nemrod era arrivato vicinissimo alla formula corretta (nella sua, non so perchè, c'è un segno errato), ma aveva fornito il risultato numerico corretto...per cui un lo merita pure lui!
@ Sir Jo: la tua osservazione sulla relazione fra il massimo dei presenti ed il numero delle stazioni è corretta, diciamo...a metà, ché bisogna distinguere due casi (quelli di cui parla Jowex alla fine del suo post) |
|
Top |
|
|
ulisse Dio maturo
Registrato: 02/03/05 01:09 Messaggi: 1531 Residenza: Bagnone (MS)
|
Inviato: 29 Mar 2010 18:49 Oggetto: Re: Ol' Man River |
|
|
Stavo leggendo il quesito e facendo conti su conti per risolverlo, quando alle mie spalle è comparso il signor Sgasu, il portiere sardo, per consegnarmi un telegramma.
Ecco cosa mi ha detto:
"Mi scusi signor Ulisse se mi permetto. 380 è il doppio di 190 che "non a caso" è la somma dei primi 19 interi. Il suo doppio è esattamente il numero di stazioni esclusa una. Quindi in totale ci sono 39 stazioni. Perché tutti quei conti per arrivarci?"
Ho provato a chiedere spiegazioni ma Sgasu non mi ha più parlato.
Qualcuno sa dirmi da dove ha tirato fuori questa soluzione? |
|
Top |
|
|
Salmastro Dio minore
Registrato: 13/12/06 19:36 Messaggi: 883 Residenza: Casalmico
|
Inviato: 31 Mar 2010 10:56 Oggetto: |
|
|
Beh, Sir Jo aveva già notato che 380=19*20 e gli bastava un passettino per mostrare che, dividendo a membro a membro per 2 si otteneva:
380/2 = 190 = [19*(19+1)]/2, che è la somma “gaussiana" dei primi 19 interi.
Credo che la ratio del tutto derivi da quanto scrive Jowex e cioè che
Citazione: | il numero dei passeggeri presenti P(n), ove n è la stazione n-sima dopo quella di partenza è dato da:
P(n) = sum(i da 0 a n) di (N-2i) = N(n+1)-2n(n+1)/2 = (n+1)(N-n)
che, è una parabola, con massimo “centrale” ed, in particolare, se N è pari (nel nostro caso, s’è visto, vale 38, 39 essendo tutte le stazioni, partenza ed arrivo comprese) il massimo si ha per n=N/2
Sostituendo nel grassettato, e imponendo P(N/2)=380, otteniamo:
380 = (N/2 + 1)*(N – N/2) = (N/2 + 1)*(N/2)
Dividendo entrambi i membri per 2, si ha: (N/2 + 1)*(N/2) = 190,
vale a dire si verifica che 190 (=380/2) è la somma dei primi N/2 interi. |
|
|
Top |
|
|
|
|
Non puoi inserire nuovi argomenti Non puoi rispondere a nessun argomento Non puoi modificare i tuoi messaggi Non puoi cancellare i tuoi messaggi Non puoi votare nei sondaggi
|
|