Indice del forum Olimpo Informatico
I Forum di Zeus News
Leggi la newsletter gratuita - Attiva il Menu compatto
 
 FAQFAQ   CercaCerca   Lista utentiLista utenti   GruppiGruppi   RegistratiRegistrati 
 ProfiloProfilo   Messaggi privatiMessaggi privati   Log inLog in 

    Newsletter RSS Facebook Twitter Contatti Ricerca
* Ol' Man River
Nuovo argomento   Rispondi    Indice del forum -> Enigmi e giochi matematici
Precedente :: Successivo  
Autore Messaggio
Salmastro
Dio minore
Dio minore


Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 15 Mar 2010 13:11    Oggetto: * Ol' Man River Rispondi citando

Uno show boat, il tipico battello del Mississippi, scende lungo il grande fiume.
Sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive.
Il vecchio capitano, chi si diletta di giochi matematici, ci ha informato che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è 380, sfidandoci a determinare il numero delle stazioni.

Lo vogliamo battere?
Top
Profilo Invia messaggio privato AIM Yahoo MSN
Nemrod
Comune mortale
Comune mortale


Registrato: 24/02/10 17:10
Messaggi: 6

MessaggioInviato: 15 Mar 2010 14:43    Oggetto: Rispondi citando

Allora...
Citazione:
Posto n+1 il numero di stazioni, alla partenza salgono n passeggeri (il numero di stazioni rimanenti), alla stazione successiva ne salgono n-1, che si sommano agli n già presenti, e ne scende uno (ogni passeggero scende ad una stazione diversa, per cui per ogni gruppo imbarcato ad ogni stazione scenderà un passeggero): totale 2(n-1) passeggeri.

La sequenza prosegue quindi così:
[Stazione] passeggeri
[0] n
[1] 2(n-1)
[2] 3(n-2)
[3] 4(n-3)
...
[n-1] n(n-n+1) = n
[n] n+1(n-n) = 0 ---> sono scesi tutti!!

Cercando di formalizzare, avrò che il numero di passeggeri alla fermata k è pari a
(k)(n-(k-1)), ponendo sempre n = n. fermate rimanenti.

Carcando il punto massimo della parabola -k^2 + (n+1),
ottengo (derivata prima) -2k + n + 1 = 0
da cui k = (n+1)/2, ossia la fermata a metà (o le due fermate al centro del percorso, qualora n sia pari)

Per il momento mi sono accontentato di risolvere enumerando le soluzioni: per ogni n, ho trovato i valori relativi alle fermate centrali, e la soluzione risulta essere 38 fermate (cioè 39 stazioni contando anche la partenza).

Naturalmente ci dovrebbe essere un modo per non dover andare a tentativi neanche nell'ultimo passaggio... ci penserò su, ma se qualcuno vuole anticiparmi è il benvenuto... Very Happy
Top
Profilo Invia messaggio privato
Nemrod
Comune mortale
Comune mortale


Registrato: 24/02/10 17:10
Messaggi: 6

MessaggioInviato: 15 Mar 2010 14:44    Oggetto: Rispondi citando

Bastava un attimo di tempo....

Citazione:
Mi basta sostituire il valore di k nell'equazione iniziale, e ottengo
-((n+1)^2)/4 + (n+1)(n+1)/2 = 380
da cui
(n+1)^2 = 380*4 = 1520

E quindi n+1 = 39
(anche se per essere un risultato perfetto avrei dovuto avere 1521, e non 1520... dove ho sbagliato?)
Top
Profilo Invia messaggio privato
Sir Jo
Mortale pio
Mortale pio


Registrato: 24/11/09 18:16
Messaggi: 21
Residenza: Napoli

MessaggioInviato: 16 Mar 2010 15:23    Oggetto: Re: Ol' Man River Rispondi citando

salmastro ha scritto:
Uno show boat, il tipico battello del Mississippi, scende lungo il grande fiume.
Sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive.
Il vecchio capitano, chi si diletta di giochi matematici, ci ha informato che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è 380, sfidandoci a determinare il numero delle stazioni.

Lo vogliamo battere?

Citazione:
Ragionando molto empiricamente, cosa mia solita visto le carenze teoriche delle quali sono affetto, ho pensato che subito dopo la stazione intermedia c'è il massimo dei passeggeri, quindi ho pensato che la stazione intermedia fosse la radice quadrata di 380 (perchè subito dopo ogni fermata il numero di passeggeri è pari alle stazioni passate moltiplicate per le stazioni mancanti), e moltiplicando per 2 il risultato della radice quadrata si ottiene il numero di stazioni, che è 39.
Troppo dozzinale come ragionamento? E soprattutto....è giusto?
Top
Profilo Invia messaggio privato
Salmastro
Dio minore
Dio minore


Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 17 Mar 2010 11:30    Oggetto: Rispondi citando

Nemrod ha scritto:
Allora...
Citazione:
Posto n+1 il numero di stazioni, alla partenza salgono n passeggeri (il numero di stazioni rimanenti), alla stazione successiva ne salgono n-1, che si sommano agli n già presenti, e ne scende uno (ogni passeggero scende ad una stazione diversa, per cui per ogni gruppo imbarcato ad ogni stazione scenderà un passeggero): totale 2(n-1) passeggeri.

La sequenza prosegue quindi così:
[Stazione] passeggeri
[0] n
[1] 2(n-1)
[2] 3(n-2)
[3] 4(n-3)
...
[n-1] n(n-n+1) = n
[n] n+1(n-n) = 0 ---> sono scesi tutti!!

Cercando di formalizzare, avrò che il numero di passeggeri alla fermata k è pari a
(k)(n-(k-1)), ponendo sempre n = n. fermate rimanenti.

Carcando il punto massimo della parabola -k^2 + (n+1),
ottengo (derivata prima) -2k + n + 1 = 0
da cui k = (n+1)/2, ossia la fermata a metà (o le due fermate al centro del percorso, qualora n sia pari)

Per il momento mi sono accontentato di risolvere enumerando le soluzioni: per ogni n, ho trovato i valori relativi alle fermate centrali, e la soluzione risulta essere 38 fermate (cioè 39 stazioni contando anche la partenza).

Naturalmente ci dovrebbe essere un modo per non dover andare a tentativi neanche nell'ultimo passaggio... ci penserò su, ma se qualcuno vuole anticiparmi è il benvenuto... Very Happy


la mia soluzione è diversa Rolling Eyes
probabilmente il tuo errore dipende dal range in cui fai variare k...

@ Sir Jo:
attenzione, non c'è bisogno di particolari conoscenze per affrontare il quesito.
secondo me, bastano poche nozioni di geometria analitica elementare.
ritengo poi che il tuo ragionamento sia intuitivamente corretto (ma questo dipende, a posteriori, dalla particolare natura della relazione che lega il numero totale di fermate alla singola fermata) e che, però, dia solo un ordine di grandezza, chè il numero che vien fuori dal tuo calcolo non è intero Rolling Eyes
Top
Profilo Invia messaggio privato AIM Yahoo MSN
Sir Jo
Mortale pio
Mortale pio


Registrato: 24/11/09 18:16
Messaggi: 21
Residenza: Napoli

MessaggioInviato: 17 Mar 2010 22:53    Oggetto: Rispondi citando

Citazione:
@ Sir Jo:
attenzione, non c'è bisogno di particolari conoscenze per affrontare il quesito.
secondo me, bastano poche nozioni di geometria analitica elementare.
ritengo poi che il tuo ragionamento sia intuitivamente corretto (ma questo dipende, a posteriori, dalla particolare natura della relazione che lega il numero totale di fermate alla singola fermata) e che, però, dia solo un ordine di grandezza, chè il numero che vien fuori dal tuo calcolo non è intero Rolling Eyes

Citazione:
Nel caso specifico il problema è che non c'è un numero di stazioni passate pari a quelle ancora da raggiungere (compreso partenza e arrivo); con 39 stazioni totali (compreso arrivo e partenza) ci saranno 19 stazioni passate e 20 ancora da raggiungere, o 20 passate e 19 da raggiungere; e sia dopo la 19 che dopo la 20 ci saranno sempre 380 viaggiatori (19*20 o 20*19 è uguale), e facendo la radq di 380 e moltiplicato per 2 vien fuori un numero non intero; nel caso invece di di 38 stazioni totali subito dopo la stazione 19 la situazione sarà di 19 stazioni passate e 19 stazioni ancora da raggiungere, e in questo caso infatti il numero massimo di passeggeri è 361, la cui radq è 19 che moltiplicato per 2 fa esattamente 38 stazioni (comprese partenza e arrivo); mi chiedo come spiegare teoricamente questa leggera mancanza rispetto al numero intero nel caso di stazioni dispari (per es nel caso di 39 stazioni vengono fuori 38,987 stazioni...)
Top
Profilo Invia messaggio privato
Nemrod
Comune mortale
Comune mortale


Registrato: 24/02/10 17:10
Messaggi: 6

MessaggioInviato: 18 Mar 2010 09:22    Oggetto: Rispondi citando

Sir Jo ha scritto:

Citazione:
Nel caso specifico il problema è che non c'è un numero di stazioni passate pari a quelle ancora da raggiungere (compreso partenza e arrivo); con 39 stazioni totali (compreso arrivo e partenza) ci saranno 19 stazioni passate e 20 ancora da raggiungere, o 20 passate e 19 da raggiungere; e sia dopo la 19 che dopo la 20 ci saranno sempre 380 viaggiatori (19*20 o 20*19 è uguale), e facendo la radq di 380 e moltiplicato per 2 vien fuori un numero non intero; nel caso invece di di 38 stazioni totali subito dopo la stazione 19 la situazione sarà di 19 stazioni passate e 19 stazioni ancora da raggiungere, e in questo caso infatti il numero massimo di passeggeri è 361, la cui radq è 19 che moltiplicato per 2 fa esattamente 38 stazioni (comprese partenza e arrivo); mi chiedo come spiegare teoricamente questa leggera mancanza rispetto al numero intero nel caso di stazioni dispari (per es nel caso di 39 stazioni vengono fuori 38,987 stazioni...)


Citazione:
Lo stesso valore che risulta a me calcolando la radice quadrata di 1520 e non di 1521... Qualcosa non torna allo stesso identico modo... Sad
Top
Profilo Invia messaggio privato
Salmastro
Dio minore
Dio minore


Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 18 Mar 2010 12:01    Oggetto: Rispondi citando

Nemrod ha scritto:


Citazione:
Lo stesso valore che risulta a me calcolando la radice quadrata di 1520 e non di 1521... Qualcosa non torna allo stesso identico modo... Sad


come dicevo prima, c'è qualcosa di errato nel tuo risultato, dal punto di vista formale, più che numerico.

qualora nessun altro intervenisse, posterò domani la mia opinione sul quesito.


L'ultima modifica di Salmastro il 19 Mar 2010 12:26, modificato 1 volta
Top
Profilo Invia messaggio privato AIM Yahoo MSN
Jowex
Eroe in grazia degli dei
Eroe in grazia degli dei


Registrato: 15/04/06 14:20
Messaggi: 90

MessaggioInviato: 18 Mar 2010 21:58    Oggetto: Rispondi citando

Provo ad anticipare Salmastro... Wink
Citazione:
Numeriamo le stazioni da 0 a N, dove 0 è la partenza e N è l'arrivo. Il numero totale di stazioni è N+1.
Stazione 0 (partenza): salgono N passeggeri, ne scendono 0
Stazione 1: salgono N-1, scendono 1
Stazione 2: salgono N-2, scendono 2
...
Stazione N-1: salgono 1, scendono N-1
Stazione N: salgono 0, scendono N
Alla stazione i-esima il numero di passeggeri aumenta di (N-i)-i = N-2i
Il numero di passeggeri sul battello dopo la stazione n-esima si ottiene facendo la sommatoria per i da 0 a n di (N-2i):
P(n) = sum(i da 0 a n) di (N-2i) = N(n+1)-2n(n+1)/2 = (n+1)(N-n)
Derivando come se fosse una funzione continua si ottiene il massimo per n=(N-1)/2, valido se N è dispari. Se N è pari, invece, il massimo si ottiene per n=N/2 e n=N/2-1.
N dispari: sostituendo n=(N-1)/2 si ottiene: P(n) = (N+1)(N+1)/4 = 380 che non ha soluzioni intere
N pari: sostituendo n=N/2 si ottiene: P(n) = (N+2)N/4 = 380 che ha soluzioni N = -40 e N=38.
Ovviamente l'unica accettabile è N=38 e il numero totale di stazioni compresa la partenza risulta N+1 = 39
Top
Profilo Invia messaggio privato
Salmastro
Dio minore
Dio minore


Registrato: 13/12/06 19:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico

MessaggioInviato: 19 Mar 2010 12:40    Oggetto: Rispondi

Jowex ha scritto:
Provo ad anticipare Salmastro... Wink
Citazione:
Numeriamo le stazioni da 0 a N, dove 0 è la partenza e N è l'arrivo. Il numero totale di stazioni è N+1.
Stazione 0 (partenza): salgono N passeggeri, ne scendono 0
Stazione 1: salgono N-1, scendono 1
Stazione 2: salgono N-2, scendono 2
...
Stazione N-1: salgono 1, scendono N-1
Stazione N: salgono 0, scendono N
Alla stazione i-esima il numero di passeggeri aumenta di (N-i)-i = N-2i
Il numero di passeggeri sul battello dopo la stazione n-esima si ottiene facendo la sommatoria per i da 0 a n di (N-2i):
P(n) = sum(i da 0 a n) di (N-2i) = N(n+1)-2n(n+1)/2 = (n+1)(N-n)
Derivando come se fosse una funzione continua si ottiene il massimo per n=(N-1)/2, valido se N è dispari. Se N è pari, invece, il massimo si ottiene per n=N/2 e n=N/2-1.
N dispari: sostituendo n=(N-1)/2 si ottiene: P(n) = (N+1)(N+1)/4 = 380 che non ha soluzioni intere
N pari: sostituendo n=N/2 si ottiene: P(n) = (N+2)N/4 = 380 che ha soluzioni N = -40 e N=38.
Ovviamente l'unica accettabile è N=38 e il numero totale di stazioni compresa la partenza risulta N+1 = 39


...e bene fai! Very Happy Applause Applause Applause

in effetti è paro paro quello che avrei scritto io, osservando che anche Nemrod era arrivato vicinissimo alla formula corretta (nella sua, non so perchè, c'è un segno errato), ma aveva fornito il risultato numerico corretto...per cui un Applause lo merita pure lui!

@ Sir Jo: la tua osservazione sulla relazione fra il massimo dei presenti ed il numero delle stazioni è corretta, diciamo...a metà, ché bisogna distinguere due casi (quelli di cui parla Jowex alla fine del suo post)
Top
Profilo Invia messaggio privato AIM Yahoo MSN
Mostra prima i messaggi di:   
Nuovo argomento   Rispondi    Indice del forum -> Enigmi e giochi matematici Tutti i fusi orari sono GMT + 1 ora
Vai a 1, 2  Successivo
Pagina 1 di 2

 
Vai a:  
Non puoi inserire nuovi argomenti
Non puoi rispondere a nessun argomento
Non puoi modificare i tuoi messaggi
Non puoi cancellare i tuoi messaggi
Non puoi votare nei sondaggi