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* Figlie femmine, che problema
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Salmastro
Dio minore
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MessaggioInviato: 15 Lug 2010 10:41    Oggetto: Rispondi citando

continuo ad essere convinto della "mia" soluzione grafica ed a sostegno di ciò posto un'altra immagine, con un commento più "verboso"

(La prima immagine da me postata era questa)

ribadisco la mia inabilità nel mondo delle densità di probabilità, ma mi sono divertito a scovare, per mera via...euristica le seguenti formule:

Citazione:
Con INT si indica l’integrale; con (a, b) gli estremi di integrazione.

Caso #1

P = INT (0, ½) [x dx] / INT (0, 1) [x dx] = ¼

Caso #2

P = (1/2)* INT (0, ½) [x dx] / INT (0, ½) [(1-x) dx] = ½*1/3 = 1/6


non garantisco sulla loro bontà e riconosco che, per dirimere la querelle, ci sarebbe bisogno di una terza autorevole opinione Rolling Eyes
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Jowex
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MessaggioInviato: 18 Lug 2010 15:17    Oggetto: Rispondi citando

cerco di scrivere più in dettaglio ciò che non mi convince... magari con qualche chiarimento in più riusciamo a capire se c'e' qualche diversità di interpretazione della figura
Citazione:
Ogni punto interno al triangolo ABC rappresenta un modo di spezzare il bastoncino in 3 parti, ma non ci dice in quale ordine sono stati fatti i tagli.
Per questo motivo, secondo la mia interpretazione, la figura non è adatta per risolvere il quesito nel caso #2

Per es. il punto O della prima figura corrisponde alla rottura del bastoncino in 3 segmenti lunghi a=FO, b=DO, c=EO, ma non ci dice se la prima rottura è avvenuta tra a e b, oppure tra b e c: entrambi i casi ci portano allo stesso punto O.

Prendendo come altro esempio il punto Z della seconda figura, il pezzo più lungo (a) potrebbe essere il risultato della prima rottura:
1a rottura: (a), (b+c)
2a rottura: (a), (b), (c)
ma potrebbe essere anche il risultato della seconda rottura applicata al segmento (a+b) (ovvero scegliendo di rompere il pezzo più lungo, anche se il punto Z è fuori dal trapezio):
1a rottura: (a+b), (c)
2a rottura: (a), (b), (c)

Per quanto riguarda gli integrali dell'ultimo post, invece, non capisco come vadano interpretati...
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Salmastro
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MessaggioInviato: 18 Lug 2010 23:13    Oggetto: Rispondi citando

assodato che la soluzione grafica soddisfa il caso #1, secondo me funziona anche per il caso #2, a patto di tener presente questa accortezza:

Citazione:
e cioè che, effettuata la prima rottura, il pezzo che (casualmente) non andiamo a spezzare sia quello a tratto intero nella figura (o, meglio, lo si posizioni in cotal guisa), per cui quello che, invece, spezzeremo sarà quello indicato col tratteggio (N.B.: spostando il segmento a tratto intero parallelamente all'altezza del triangolo otterremo tutte le possibili "seconde" rotture).
Affinchè il punto di prima rottura sia "buono" non deve stare nel triangolino in alto (altrimenti il pezzo che andremo a spezzare sarà minore di 1/2), ma deve necessiamente trovarsi nei tre triangolini in basso, da cui le conseguenze già tratte.


per quanto riguardi gli integrali,

Citazione:
quello per il caso #1 coincide con quello di Jowex:
a numeratore l'integrale della funzione x, calcolato nell'intervallo [0, 1/2]; a denominatore lintegrale della stessa funzione, calcolata, però, fra [0, 1]

per il caso #2, invece:
a numeratore sempre l'integrale di x, fra [0, 1/2], ma a denominatore l'integrale di (1-x), calcolato fra [0, 1/2]

in sostanza, nei due casi figura sempre lo stesso denominatore, ma la normalizzazione (denominatore) è diversa.
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Jowex
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MessaggioInviato: 19 Lug 2010 19:02    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
e cioè che, effettuata la prima rottura, il pezzo che (casualmente) non andiamo a spezzare sia quello a tratto intero nella figura (o, meglio, lo si posizioni in cotal guisa), per cui quello che, invece, spezzeremo sarà quello indicato col tratteggio (N.B.: spostando il segmento a tratto intero parallelamente all'altezza del triangolo otterremo tutte le possibili "seconde" rotture).

Citazione:
ok, quindi possiamo dire che con il procedimento descritto si sceglie di rompere sempre il secondo pezzo (che per questioni di simmetria anche secondo me puo' essere corretto, a patto di tenerne conto)

poi:
salmastro ha scritto:
Affinchè il punto di prima rottura sia "buono" non deve stare nel triangolino in alto (altrimenti il pezzo che andremo a spezzare sarà minore di 1/2), ma deve necessiamente trovarsi nei tre triangolini in basso, da cui le conseguenze già tratte.

Citazione:
questo è un punto su cui non sono d'accordo: anche se il punto di rottura non è buono, nel calcolo della probabilità non può essere escluso e deve essere considerato tra i casi sfavorevoli.
In nessun punto del procedimento si dice di escludere i casi in cui il secondo bastoncino (che verrà rotto) è < 1/2, anche se tutti questi casi saranno sempre sfavorevoli


che fatica quotare in questo modo! Very Happy
(e forse anche leggere...)
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Salmastro
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MessaggioInviato: 19 Lug 2010 23:36    Oggetto: Rispondi citando

Jowex ha scritto:

poi:
salmastro ha scritto:
Affinchè il punto di prima rottura sia "buono" non deve stare nel triangolino in alto (altrimenti il pezzo che andremo a spezzare sarà minore di 1/2), ma deve necessiamente trovarsi nei tre triangolini in basso, da cui le conseguenze già tratte.

Citazione:
questo è un punto su cui non sono d'accordo: anche se il punto di rottura non è buono, nel calcolo della probabilità non può essere escluso e deve essere considerato tra i casi sfavorevoli.
In nessun punto del procedimento si dice di escludere i casi in cui il secondo bastoncino (che verrà rotto) è < 1/2, anche se tutti questi casi saranno sempre sfavorevoli



vediamola così:

Citazione:
quando il punto si trova nel triangolino in alto rientra nel 50% di casi sicuramente sfavorevoli;
quando non è lì, ma nel "trapezio" formato dai tre triangolini in basso, sì è nel restante 50% di casi "potenzialmente" favorevoli e dovremo determinare quanti sono quelli veramente buoni. Graficamente verifichiamo sia solo 1/3 di questo potenziale 50% (solo il triangolo centrale), vale a dire 1/6
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Jowex
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MessaggioInviato: 20 Lug 2010 18:23    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:

vediamola così:

Citazione:
quando il punto si trova nel triangolino in alto rientra nel 50% di casi sicuramente sfavorevoli;
quando non è lì, ma nel "trapezio" formato dai tre triangolini in basso, sì è nel restante 50% di casi "potenzialmente" favorevoli e dovremo determinare quanti sono quelli veramente buoni. Graficamente verifichiamo sia solo 1/3 di questo potenziale 50% (solo il triangolo centrale), vale a dire 1/6

Dunque, forse stiamo parlando di un procedimento che chiamo #3, in cui:
1. si rompe il bastoncino in un punto a caso
2. si sceglie in modo intelligente il pezzo da rompere di nuovo (ovvero scegliamo sempre il pezzo più lungo)
3. rompiamo il pezzo scelto

La differenza sta solo nel secondo punto, dato che nel procedimento #2 supponevo di scegliere in modo stupido il pezzo da rompere di nuovo (P=1/2)
Tuttavia anche in questo caso (#3) i conti non mi tornano. Per un motivo intuitivo e più immediato:
Citazione:
se scelgo in modo intelligente il pezzo su cui effettuare la seconda rottura, la probabilità finale non potrà essere inferiore a quella del caso #1, in cui sceglievo due punti di rottura completamente a caso

ma anche per un motivo più formale,
ovvero, ripetendo i passaggi che avevo fatto per il caso #2, l'unica differenza è quella evidenziata in grassetto che prende il posto di quella in corsivo:
Citazione:
Condizionando la probabilità P al fatto che il primo taglio x cada prima o dopo la metà del bastoncino si ottiene:
P(successo) = P(successo | x<1/2)P(x<1/2) + P(successo | x>1/2)P(x>1/2) =
= 1/2 * [P(successo | x<1/2) + P(successo | x>1/2)]
che per simmetria risulta uguale a:
= P(successo | x<1/2) =
poi condizioniamo al fatto di scegliere il primo o il secondo pezzo per effettuare il secondo taglio:
= P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 1) * P(scelgo il pezzo 1) + P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 2) * P(scelgo il pezzo 2)
[in cui P(scelgo il pezzo 1) = P(scelgo il pezzo 2) = 1/2, ma P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 1) = 0, perché alla fine resterà un pezzo>1/2]
in cui P(scelgo il pezzo 1)=0 e P(scelgo il pezzo 2)=1, perché scelgo in modo intelligente sempre il pezzo più lungo (ovvero il secondo)
Questa volta risulta:
= P(successo | x<1/2, scelgo il pezzo 2)
ovvero il doppio di quanto trovato per il procedimento #2, quindi
P = 2 * (ln 2 - 1/2) = 0.386

Adattando (e semplificando) lo script in python postato in precedenza:

Codice:
import sys
import time

def test3(tries):
        from random import uniform, choice, random
        # numero di tentativi riusciti
        success = 0
        for i in xrange(tries):
                # restituisce la posizione del primo taglio tra 0 e 1
                x = random()
                # se il primo taglio e' nella prima meta' si sceglie il secondo pezzo
                if x < 0.5:
                        # se il secondo taglio ricade nell'intervallo valido
                        if 0.5 < uniform(x, 1) < 0.5 + x:
                                # allora e' possibile costruire il triangolo
                                success += 1
                # altrimenti il primo taglio e' nella seconda meta' e si sceglie il primo pezzo
                else:
                        # se il secondo taglio ricade nell'intervallo valido
                        if x - 0.5 < uniform(0, x) < 0.5:
                                # allora e' possibile costruire il triangolo
                                success += 1
        return success

def main():
        test = test3
        for i in xrange(int(sys.argv[1])):
                start = time.time()
                tries = int(sys.argv[2])
                success = test(tries)
                stop = time.time()
                print '%-10s %-10s %10.6f %10.2f' % (tries, success, float(success) / tries, stop - start)

if __name__ == '__main__':
        main()


ottengo i numeri attesi:

10000000 3862413 0.386241 10.13
10000000 3861491 0.386149 10.16
10000000 3861469 0.386147 10.18

Salmastro, per provare "sperimentalmente" il tuo risultato, riusciresti a descrivere in pseudo-codice o in un qualche modo semi-formale il procedimento da eseguire per la rottura di un bastoncino? Potrei provare io a trasformarlo in codice. Ovviamente se conosci un altro linguaggio e vuoi pensarci tu non mi offendo... Wink
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Salmastro
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MessaggioInviato: 20 Lug 2010 19:06    Oggetto: Rispondi citando

Ritorniamo alla figura

Citazione:
Il nostro bastoncino è uguale all’altezza del triangolo grande.
Ogni punto interno al triangolo rappresenta un modo di spezzare il triangolo: vale a dire le tre perpendicolari condotte da un determinato punto rappresentano i tre pezzi ottenuti dopo le canoniche rotture, giacché, come è facile dimostrare, la somma di tali tre segmenti è pari all’altezza del triangolo.

Nel caso #1, dovunque siano stati effettuate le due rotture, siamo in grado di trovare un punto O, interno al triangolo, in modo tale che i tre segmenti siano uguali ai tre “pezzi”.
Per esempio, basta prendere un pezzo a caso e, tenendone sempre un estremo sulla base del traingolone, spostarlo parallelamente all’altezza dello stesso triangolone. Prima o poi, per continuità, otterremo i tre segmenti che cercavamo.
Alla fine, icto oculi, i punti “buoni” saranno solo quelli del triangolino giallo (1/4): sono quelli la cui lunghezza è per tutti inferiore a 1/2.

Nel caso #2, spezziamo casualmente il bastoncino in un punto e casualmente prendiamo uno dei due pezzi per la successiva rottura. Abbiamo il 50% di probabilità di scegliere quello che ha lunghezza superiore ad 1/2, il che ci condurrà, inevitabilmente al fallimento, ed il 50% di scegliere quello con lunghezza inferiore ad 1/2: si tratta di vedere, all’interno di tale 50% , quante sono le eventualità favorevoli.
A tale scopo, prendiamo il pezzo che casualmente non abbiamo scelto per effettuare la seconda rottura e mettiamolo lungo l’altezza del triangolo con un estremo sulla base. Nel 50% dei casi l’altro estremo si troverà nel triangolino in alto (per cui la seconda rottura la effettueremo su un pezzo lungo meno di 1/2: non otterremo triangoli!), nell’altro 50% l’altro estremo si troverà nel “trapezio” in basso, quello formato da tre triangolini (per cui la seconda rottura la effettueremo su un pezzo più lungo di 1/2: potremo ottenere dei triangoli!). Procedendo come nel caso #1, icto oculi, ci si rende conto che i punti buoni sono solo quelli del solito triangolino giallo, vale a dire 1/3 del 50%, pari a 1/6.

Per quanto riguarda la formalizzazione, ripropongo gli integrali postati qualche messaggio fa:

per il caso #1, INT(0,1/2) x dx / INT (0,1) x dx
per il caso #2, (1/2) * INT(0,1/2) x dx / INT (0,1/2) x dx

cioè la funzione da integrare a numeratore è uguale nei due casi: f(x)=x, sempre fra 0 e 1/2
ma a denominatore (quella “normalizzante”) cambia: nel caso #1 è f(x)=x, da integrare fra 0 e 1;
nel caso #2 è f(x)=(1-x), da integrare fra 0 e 1/2.

P.S.: mi pare che tu, nel caso #2, integri la f(x)=x/(1-x)...forse l'errore è lì...
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Jowex
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MessaggioInviato: 20 Lug 2010 19:44    Oggetto: Rispondi citando

salmastro ha scritto:
Ritorniamo alla figura
...

Vista l'impossibilità da parte mia di spiegarmi in altro modo, alla fine mi affido a S. Google, che mi restituisce tra i risultati questa interessante pagina (in inglese) in cui viene esaminato proprio questo problema:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbability.shtml

Vengono identificati 4 casi distinti (tra cui i 3 che ho elencato nei post precedenti)
#1: rottura casuale e contemporanea del bastoncino in 2 punti
#2: rottura casuale in un punto, scelta casuale di uno dei due pezzi (P=1/2), rottura del pezzo scelto
#3: rottura casuale in un punto, scelta intelligente del pezzo più lungo e rottura di questo pezzo
#4: rottura casuale in un punto, scelta casuale di uno dei due pezzi con probabilità proporzionale alla lunghezza del pezzo, rottura del pezzo scelto
Nel link postato i casi #2 e #3 compaiono in ordine invertito, mentre il #4 è nuovo.

I risultati a cui si giunge sono quelli che ho postato precedentemente, ovvero:
Citazione:
#1: P = 1/4 = 0.25
#2: P = ln 2 - 1/2 = 0.193
#3: P = 2 ln 2 - 1 = 0.386

e viene anche detto che diversi matematici, tra cui un certo Martin Gardner sono stati ingannati dal problema, concludendo erroneamente che la probabilità risultante nel caso #3 fosse "1/3".
Altre due pagine collegate alla precedente, in cui il problema viene affrontato in modo diverso (ma non le ho lette in dettaglio) sono queste:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Probability/TriProbCartesian.shtml
http://www.cut-the-knot.org/triangle/geoprobability.shtml

p.s. forse il thread meriterebbe uno split, visto che ci siamo un po' allontanati dal topic originale...
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Salmastro
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MessaggioInviato: 21 Lug 2010 10:32    Oggetto: Rispondi citando

@ Jowex:

OK! Perfetto! Mi sono convinto!! Very Happy

Ti ringrazio per aver insistito, con il tuo consueto garbo, sulle “sottigliezze” della questione, per niente banale, ribadisco. Wink

La visione della figura inserita nel link da te postato, quella associata al caso #2, ha cancellato ogni mia pregressa convinzione ed eliminato, per la sua lampante immediatezza, ogni possibile dubbio a riguardo.

Per quanto riguarda un eventuale split, non mi trovi d’accordo: in realtà, secondo me, è tutto IT, ché scopo del topic era mostrare trappole e paradossi della probabilità, materia spesso ostica da affrontare, nella quale non è difficile sbagliare l’approccio, giungendo a conclusioni fallaci.

Al limite, se zeussino vorrà, potrebbe bastare un piccolo richiamo nel titolo alla questione che così tanto ci ha appassionato e, per quanto mi riguarda, assai divertito. Very Happy
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giovanni56
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MessaggioInviato: 23 Lug 2010 04:10    Oggetto: Rispondi

Ritornando alla domanda iniziale

[quote="dart"]
zeussino ha scritto:

Secondo me 1/3.
I casi possibili sono 4:
MF - MM - FM - FF.
Il caso MM non è possibile, quindi la sig.ra Anna si ritrova in una di queste situazioni: MF - FM - FF.
Quindi la possibilità che l'altro figlio sia femmina è solo 1 su 3.


salmastro ha scritto:
ok, dart, "corretta" la tua risposta, ma...


Scusatemi, perchè i casi possibili sono 4?
Qual'è la differenza fra i casi 1 e 3?
O forse mi sono perso qualcosa?
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