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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 20:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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 Inviato: 22 Giu 2009 11:13 Oggetto: Mille e non più mille |
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Consideriamo l'insieme dei numeri interi (per intenderci i naturali positivi e negativi, zero incluso).
Esistono all'interno di esso dei gruppi di elementi consecutivi cui la somma sia esattamente 1000?
Se sì, quali?
(sarebbe interessante, se possibile, generalizzare  ) |
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_L_
Semidio
Registrato: 28/12/06 00:47
Messaggi: 215
Residenza: Brugherio (MI)
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| Inviato: 22 Giu 2009 19:54 Oggetto: |
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| Citazione: |
ovvero trovare N e n tali che N + (N + 1) + ... + (N + n - 1) + (N + n) = 1000
N*(n + 1) + n*(n + 1)/2 = 1000
N*(n + 1) = 1000 - n*(n + 1)/2
N = 1000/(n + 1) - n/2
e filtriamo a forza bruta (faccio schifo con le diofantee) per n da 0 a 44 (se n= 45 si supera 1000 anche con N = 0*) dove il risultato è intero:
n | N
0 | 1000 (va bé questo è banale)
4 | 198 + 199 + 200 + 201 + 202 = 1000
15 | 55 + 56 + ... + 69 + 70 = 1000
24 | 28 + 29 + ... + 51 + 52 = 1000
(ringrazio OpenOffice.org Calc per il supporto tecnico 
Generalizzando: sia S la somma da raggiungere
N = S/(n + 1) - n/2 con n t.c. n*(n+1)/2 <= S
n*(n+1)2 <= S -> n^2/2 + n/2 - S <= 0 -> n <= 1/2 + sqrt(1/4 + 2*S)
quindi:
N = S/(n + 1) - n/2 con n = 0..floor(1/2 + sqrt(1/4 + 2*S))
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 20:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 22 Giu 2009 23:36 Oggetto: |
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per quanto ovvio, ammessi solo carta e penna, ché Gauss solo quelli aveva!
(al limite un foglio di calcolo alla fine, giusto per controllo  ) |
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IvoFaArtiInvano
Eroe
Registrato: 02/12/07 17:59
Messaggi: 62
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| Inviato: 22 Giu 2009 23:41 Oggetto: |
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Queste sono le sole soluzioni possibili: 8)
| Citazione: | da 1000 a se stesso;
da -999 a 1000;
da 198 a 202;
da -197 a 202;
da 28 a 52;
da -27 a 52;
da 55 a 70;
da -54 a 70. |
Per chi ha pazienza, ecco la dimostrazione che ho escogitato: 
| Citazione: | Indico con K la somma da cercare (nel nostro caso K=1000).
Indico con a e b, rispettivamente il primo e l'ultimo dei numeri consecutivi che sommati danno K.
Indico con S(n) la somma dei numeri da 0 a n (dove n può essere minore di 0).
Si ha, utilizzando la formula di Gauss per S(n):
K = S(b)-S(a-1) = b(b+1)/2 - a(a-1)/2
==>
b^2+b-a^2+a-2k=0 [1]
pongo d=(b-a) e dalla [1] si perviene a:
a= k/(d+1) + d/2 [2]
pongo D=d+1 e riscrivo la [2]:
a= 1/2 (2K/D - D +1) [3]
Nella [3] si nota che, affinché a sia intero, deve essere D un divisore di 2K.
Consideriamo dunque tutti i divisori di 2K:
[4] D dovrà variare fra tutti i divisori di 2K ad esclusione di quelli
che contengano potenze di 2 che non siano la massima possibile (salvo ovviamente 2^0=1).
Dimostriamo la [4].
Il fattore (2K/D - D +1) deve essere pari;
==> il termine 2K/D - D deve essere dispari:
adesso ci sono due possibilità:
a) D è pari
==> D deve essere la massima potenza di 2 in modo che 2K/D non contenga fattori uguali a 2 e risulti quindi dispari
e 2K/D - D risulti quindi dispari (dispari-pari=dispari)
b) D è dispari
==> D non deve contenere fattori uguali a due: così 2K/D rimane pari e 2K/D - D risulta dispari (pari-dispari=dispari)
la [4] segue quindi da a) e b).
Sia quindi D(i) l'i-esimo divisore di 2K che rispetta la regola [4], si hanno le N coppie-soluzioni:
a(i)= 1/2 (2K/D(i) - D(i) +1)
b(i)= a(i) + D(i) - 1
per 1 <= i <= N dove N è il numero dei divisori che seguono la regola [4] (in essi è compresa l'unità).
Per il nostro caso K=1000 si ha:
2K = 2^4 * 5^3
==>
D(1)= 5^0 = 1 --> a(1)=1000; b(1)=1000;
D(2)= 5^1 = 5 --> a(2)=198; b(2)=202;
D(3)= 5^2 = 25 --> a(3)=28; b(3)=52;
D(4)= 5^3 = 125 --> a(4)=-54; b(4)=70;
D(5)= 2^4 * 5^0 = 16 --> a(5)=55; b(5)=70;
D(6)= 2^4 * 5^1 = 80 --> a(6)=-27; b(6)=52;
D(7)= 2^4 * 5^2 = 400 --> a(7)=-197; b(7)=202;
D(8 )= 2^4 * 5^3 = 2000 --> a(8 )=-999; b(8 )=1000.
Nota: dalla formula escono fuori anche le simmetrie dei negativi/positivi che si annullano fino ad (a-1)
della analoga soluzione con a e b positivi. |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 20:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 23 Giu 2009 19:09 Oggetto: |
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a questo punto, ritengo giusto postare la mia opinione:
| Citazione: | Sia S la somma della progressione aritmetica, di ragione 1, avente come primo termine il numero K (appartenente agli interi relativi) e formata da (M+1) elementi.
In sostanza tale progressione è formata da questi numeri:
K; K+1;?.: K + (M-1); K + M
la cui somma deve dare S.
grazie a Gauss sappiamo che S = ½ (a[1] + a[N])*N
laddove a[1] è il primo termine, a[n] è l?ultimo, N il numero dei termini della progressione.
riscriviamola con la notazione precedentemente indicata:
S = ½ (K + K+M)*(M + 1); da cui 2S = (2K +M)*(M + 1)
Ora è facile verificare che i due termini a destra nell?uguaglianza sono l?uno pari e l?altro dispari, essendo 2S pari. Se lo è (M+1) deve esserlo l?altro e viceversa. Naturalmente, a meno che M non sia uguale a zero (progressione formata da un solo termine, che, tecnicamente, non è propriamente una progressione, ma che il quesito non esclude a priori)
Se (M+1) è dispari, vuol dire che è pari la somma del primo e dell?ultimo termine della progressione.
Notiamo che tale somma (a[1]+a[N]) coincide con il doppio del valore centrale della progressione stessa
Se (M+1) è pari, ciò implica che è dispari la somma (a[1]+a[N]), uguale, quest?ultima alla somma dei due termini centrali e cioè a (a[(M+1)/2] + a[(M+1)/2+1)]
Per inciso, dall?ultima relazione si evince che il ?pari e dispari? è condizione necessaria, ma non sufficiente, dovendosi verificare, per (M+1) pari, anche l?eventualità ((M+1)/2) pari, cioè (M+1)=N=4p (deve essere, cioè, un multiplo di 4)
Venendo a noi, scomponendo il nostro 2S in fattori primi, si ottiene:
2000=(2^4)*(5^3)
Esaminiamo le varie possibilità:
sia (M+1)=N dispari; gli unici possibili valori sono: 1, 5, 25, 125 (le potenze di 5, zero incluso)
(M+1) =N= 1 >> M=0 >> (2K+M)=2K=2000 >> K=1000 >> progressione data da [1000]
(M+1) =N= 5 >> M=4 >> (2K+M)=(2k+4)=2000/5 >> K=198 >> progressione data da [198:202]
(M+1) =N= 25 >> M=24 >> (2K+M)=(2K+24)=2000/25 >> K=28 >> progressione data da [28:52]
(M+1) =N= 125 >> M=124 >> (2K+M)=(2K+124)=2000/125 >> K=-54 >> prog. data da [-54:70]
Sia (M+1) pari; possibili valori sono 16, 80, 400, 2000 (si devono incrociare con un fattore dispari!)
(M+1) =N= 16 >> M=15>> (2K+M)=(2K+15)=2000/16 >> K=55>> progressione data da [55:70]
(M+1) =N= 80 >> M=79 >> (2K+M)=2K=2000/80 >> K=-27 >> progressione data da [-27:52]
(M+1) =N= 400 >> M=399 >> (2K+M)=(2K+399)=2000/400 >> K=-197 >> progr. [-197:202]
(M+1) =N= 2000 >> M=1999 >> (2K+M)=(2K+1999)=2000/2000 >> K=-999 >> prog [-999:1000] |
Il tutto, esclusa la prima parte (che credevo più semplice di quella di Ivo, ma, scrivendola, non più  ) coincide in tutto e per tutto a quanto lo stesso Ivo ci ha postato!
Per cui ad Ivo...  |
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Scrigno
Semidio
Registrato: 26/07/09 05:32
Messaggi: 313
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| Inviato: 26 Lug 2009 13:46 Oggetto: Re: Mille e non più mille |
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| salmastro ha scritto: | Consideriamo l'insieme dei numeri interi (per intenderci i naturali positivi e negativi, zero incluso).
Esistono all'interno di esso dei gruppi di elementi consecutivi cui la somma sia esattamente 1000?
Se sì, quali?
(sarebbe interessante, se possibile, generalizzare ) |
GENERALIZZANDO :
| Citazione: | i numeri negativi non li prenderei nemmeno in considerazione in quanto per raggiungere il risultato di mille dobbiamo aggiungere loro un numero positivo diverso da 0 e quindi avremmo sicuramente un gap di una cifra in quanto tra -1 ed 1 c'è un divario di 2...
Prendiamo il nostro numero ... 1000
Troviamo tutti i suoi divisori .... 1000/2 = 500
500/2= 250
250/(2*5)= 25
25/5 = 5
.... 1000 = 2^3 *5^2
i numeri consecutivi che lo compongono quindi sono:
a) 5 --> 1000/5 = 200 --> (200-2) + (200-1) + (200) (200+1) + (200+2)
1000 = 198 + 199 + 200 + 201 + 202
con lo stesso procedimento si prende un numero di cifre pari al prodotto di ogni permutazione dei divisori del numero purchè dispari...
Nel nostro caso
essendo i divisori 1| 2 2 2 5 5 |1000
avremmo una successione corretta in:
5 (descritta sopra)
25 --> 1000/25 = 40 (la successione andra da 40-24 fino a 40 + 24)
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Ranger_Trivette
Dio maturo
Registrato: 21/08/07 17:11
Messaggi: 4980
Residenza: Genova
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| Inviato: 26 Lug 2009 14:46 Oggetto: |
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| _L_ ma il tuo nome riprende death note? |
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Salmastro
Dio minore
Registrato: 13/12/06 20:36
Messaggi: 883
Residenza: Casalmico
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| Inviato: 26 Lug 2009 19:10 Oggetto: |
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@ scrigno:
non ne sono più tanto sicuro (la memoria, ahimè, mi inganna) ma con "generalizzazione" probabilmente intendevo di studiare i casi in cui, invece di 1000, avessimo parlato di un N generico (peraltro, la cosa era già stata sviscerata in un altro topic...) |
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_L_
Semidio
Registrato: 28/12/06 00:47
Messaggi: 215
Residenza: Brugherio (MI)
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| Inviato: 01 Ago 2009 23:27 Oggetto: |
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| Ranger_Trivette ha scritto: | | _L_ ma il tuo nome riprende death note? |
ebbene si |
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